Consideriamo l'applicazione \( p : X \to Y \) che identifica isometricamente \(h_n \) con \( d_n \) preservando il segno della prima coordinata.
Dimostra che \( p \) è una suriezione continua che non è un quoziente.
Non sono sicurissimo del significato di " identifica isometricamente \(h_n \) con \( d_n \) preservando il segno della prima coordinata."
Capisco che mette in relazione \(p(h_n) = d_n \) o meglio ciascun punto di \( (x,y) \in h_n \) viene associato a \( p((x,y))=(x',y') \in d_n \) in modo tale che \( x x' > 0 \) e \( d(x,y)=d(x',y') \) dove \(d \) è la distanza euclidea? Giusto?
Inoltre presumo che le due topologie su \(X \) e \(Y \) siano le topologie sottoinsieme di \( \mathbb{R}^2 \) che a sua volta è munito con la topologia euclidea.
Fatto questo chiarimenti non capisco molto bene alcune parti delle soluzioni:
1) Continuità di \(p \):
\(p \) è chiaramente continua poiché è definita per delle isometrie. Più precisamente tutti i punti che non si trovano sull'asse \( y=0 \) in \(Y \) ammettono un intorno che è l'immagine isometrica di un intervallo aperto di una delle rette orrizontali di \(X \). Resta ad analizzare cosa succede in \((a,0) \).
Non capisco il motivo per cui tutti punti che non sono su \(y=0 \) ammettono un tale intorno.
2) Il comportamento di \(p \) sull'asse \( y=0 \)
Ogni intorno di \( (a,0) \) in \(Y \) contiene una palla \( B((a,0),\epsilon) \cap Y\). E la preimmagine è data da un'unione infinita d'intervalli aperti centrati in \( (a,n) \) su ciascuna delle rette \(h_n \) tranne un numero finito. E quest'unione è chiaramente aperta in \(X \).
In grasse la parte che non capisco.
3) Siccome esiste un sottoinsieme \( A:= \{ (x,0) \in Y : 0<x<1 \} \) che non è aperto in \(Y \) per la ragione indicata qui sopra, ma avendo \( p^{-1}(A)= \{ (x,0) \in h_0 : 0<x<1 \} \) è un aperto in \(X \) allora l'applicazione \(p \) non è un quoziente.
A me sembra che \( A \) è aperto...
