Spazio proiettivo complesso isomorfo alla sfera

[3m0o]

Avrei bisogno una mano con questo esercizio...
Sia \( S^3 \subset \mathbb{C}^2 \) e \( \mathbb{C}P^1 \) il quoziente sotto l'azione di \( S^1 \subset \mathbb{C} \). Identifichiamo dunque \((z,z') \in S^3 \) con \( (az,az') \) per tutti i numeri complessi di norma 1, dove \( z,z' \) sono le coordinate complesse di un punto di \( S^3 \).
Sia \( q: S^3 \to \mathbb{C} P^1 \) l'applicazione quoziente.
1) Dimostra che la preimmagine di un punto di \( \mathbb{C}P^1 \) è un cerchio in \( S^3 \)
2) Dimostra che l'applicazione \((z,z') \mapsto (\left| z \right|^2 - \left|z'\right|^2 , 2 z \bar{z}' ) \) da \( \mathbb{C}^2 \) in \( \mathbb{R} \times \mathbb{C} \) definisce un applicazione \( \eta : S^3 \to S^2 \)
3) Dimostra che \( \eta \) è suriettiva e che la preimmagine di ciascun punto è il cerchio
4) Dimostra che la preimmagine dell'equatore \( 0 \times S^1 \subset S^2 \) è un toro
5) Dimostra che \( \mathbb{C}P^1 \) è omeomorfo alla sfera \( S^2 \).

Per il punto 1)
Direi che \( S^1 \) agisce a destra su \( S^3 \) per moltiplicazione sulle singole coordinate abbiamo e che
\( \mathbb{C}P^1 = S^3/ S^1 \) è dunque lo spazio delle orbite dell'azione di \(S^1 \) su \(S^3 \), abbiamo che è dato dunque da \( (z,z') \cdot a = (az,az') \) e pertanto se \( \left| a \right| = 1 \) abbiamo dunque che
\( q((az,az') ) = (z,z') \) per ogni \( a \in S^1 \), dove \((z,z')\) è il rappresentante di un orbita e sarei dunque tentato di dire che \( q^{-1}( (z,z')) \) è un cerchio ma non so se è così evidente...

Per il punto 2) farei così:
\( S^3 \) è identificato come sottoinsieme di \( (z,z') \in \mathbb{C}^2 \) tale che \( \left| z \right|^2 + \left|z'\right|^2= 1 \) mentre abbiamo che \( S^2 \) è identificato con il sottoinsieme di \( \mathbb{R} \times \mathbb{C} \ni (x,z) \) tale che \(x^2 + \left|z\right|^2 = 1 \) e siccome
Definirei dunque \( \eta ((z,z')) = (\left| z \right|^2 - \left|z'\right|^2 , 2 z \bar{z}' )\)
E abbiamo che se \((z,z') \in S^3 \) allora
\[ (2 z \bar{z}' )^2 + \left(\left| z \right|^2 - \left|z'\right|^2 \right)^2 = 4 \left|z\right|^2 \left| z' \right|^2 + \left| z \right|^4 - 2 \left|z\right|^2 \left| z' \right|^2 + \left| z' \right|^4 = \left( (\left| z \right|^2 +\left|z'\right|^2 \right)^2 = 1 \]
e dunque otteniamo che \( \eta ((z,z')) \in S^2 \).

Per il punto 3)
Per la suriettività direi che "perdo" una dimensione e quindi è chiaro che è suriettiva ma non so come formalizzarlo.
Mentre per la preimmagine che è un cerchio noterei che se ho \( (z,z') \) e \( a \in S^1 \) allora \( \eta( (z,z'))=\eta( (az,az')) \) inoltre abbiamo anche che se \( \eta( (z,z'))=\eta( (\omega,\omega')) \) allora \( (\omega,\omega')= (az,az') \) per un qualche \( a \in S^1 \). E sarei dunque tentato di dire come nel punto 1) che la preimmagine di \( \eta \) è un cerchio.

Per il 4) ed il 5) non ho nessuna idea....

[solaàl]

4) Se la controimmagine di un punto è un cerchio, la controimmagine di \(\{p\}\times \mathbb{S}^1 = \coprod_{x\in \mathbb{S}^1}\{p\}\) è \(\coprod_{x\in \mathbb{S}^1} \mathbb{S}^1 = \mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^1\), perché \(\eta^\leftarrow(\,\_\,)\) commuta con le immagini inverse.

5) E' una cosa classicissima che sta ovunque: usa le due proiezioni stereografiche dai poli nord e sud della sfera, sono definite con dominii \(U_N:=\mathbb{S}^2\smallsetminus\{N\}\) e \(U_S:=\mathbb{S}^2\smallsetminus\{S\}\). Devi dimostrare che esistono due omeomorfismi \(\varphi_N : U_N \to \mathbb R^2\) e \(\varphi_S : U_S \to \mathbb R^2\) compatibili sull'intersezione \(U_N\cap U_S = \mathbb{S}^2 \smallsetminus\{N,S\}\); se proprio vuoi fare l'esercizio fino in fondo, identificando \(\mathbb R^2\) con \(\mathbb C\), le \(\varphi\) sono funzioni olomorfe.

Solitamente, per definire \(\varphi_N\) si fa così: un elemento della stella di rette di centro N interseca \(\mathbb{S}^2\) in un unico punto \(P\) e in un unico punto \(\varphi_N(P) \in \mathbb R^2\). Questa funzione, quando viene scritta in coordinate, è un omeomorfismo perché è un rapporto di funzioni polinomiali; per scriverla in coordinate, scegli un riferimento intelligente: solitamente il polo nord è il punto \(\left(\begin{smallmatrix} 0\\0\\1\end{smallmatrix}\right)\), la sfera è il sottoinsieme \(\{\vec x \in\mathbb R^3 \mid |\vec x|=1\}\subset \mathbb R^3\) dotato della topologia di sottospazio, ed \(\mathbb R^2\) viene identificato al piano \(z=0\). In questa convenzione, l'intersezione tra \(\mathbb S^2\) e il piano è il luogo dei punti fissi; l'interno di questa intersezione viene identificato all'emisfero inferiore della sfera, e l'esterno a quello superiore; analogamente accade per la proiezione dal polo sud.

[j18eos]

1) Fai il calcolo.

2) Va bene.

3) Una parte segue dal punto (1); dovresti solo dimostrare che ogni punto di \(\displaystyle\mathbb{S}^2\) ha pre-immagine non vuota.

[3m0o]

1) Fai il calcolo.

2) Va bene.

3) Una parte segue dal punto (1); dovresti solo dimostrare che ogni punto di \(\displaystyle\mathbb{S}^2\) ha pre-immagine non vuota.

Per 1) intendi
\[ \left| za \right|^2 + \left| az' \right|^2 = \left|z \right|^2 \left|a \right|^2 + \left| z' \right|^2 \left| a \right|^2 = \left| z \right|^2 + \left| z' \right|^2 = 1 \]
e visto che \((z,z') \) è fisso e \(a\) varie in \(S^1 \) allora è un cerchio?

Per 3) non posso dire più semplicemente che siccome \( \eta \) passa al quoziente esiste un unica applicazione \( \bar{ \eta} : \mathbb{C}P^1 \to S^2 \) tale che \( \bar{\eta} \circ q = \eta \) allora è chiaro che \( \eta \) è suriettiva in quanto è \( q \) e \( \bar{\eta} \) lo sono e che la preimmagine di un punto per \(\eta \) è un cerchio di \(S^3 \) siccome la preimmagine di un punto \(S^2) \) per \( q^{-1} \circ \bar{\eta}^{-1} \) è un cerchio di \(S^3 \) grazie al punto 1)

[3m0o]

4) Se la controimmagine di un punto è un cerchio, la controimmagine di \(\{p\}\times \mathbb{S}^1 = \coprod_{x\in \mathbb{S}^1}\{p\}\) è \(\coprod_{x\in \mathbb{S}^1} \mathbb{S}^1 = \mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^1\), perché \(\eta^\leftarrow(\,\_\,)\) commuta con le immagini inverse.

Non capisco perché scrivi l'equatore come \( 0 \times S^1 =\coprod_{x\in \mathbb{S}^1}0 \)
E perché \( \coprod_{x\in \mathbb{S}^1} S^1 = S^1 \times S^1 \)

[solaàl]

Sì, è un abuso di notazione volto a farti capire "perché" è vero; il coprodotto a sinistra dell'uguale ha una topologia diversa dalla topologia prodotto sul toro. L'idea, comunque, è che se la controimmagine di un punto è un cerchio, la controimmagine di una circonferenza (su cui il punto corre) è una circonferenza che corre sulla circonferenza controimmagine di ciascun punto.

Se vuoi formalizzare questa idea, trova una parametrizzazione di questa controimmagine

[3m0o]

Sì, è un abuso di notazione volto a farti capire "perché" è vero; il coprodotto a sinistra dell'uguale ha una topologia diversa dalla topologia prodotto sul toro. L'idea, comunque, è che se la controimmagine di un punto è un cerchio, la controimmagine di una circonferenza (su cui il punto corre) è una circonferenza che corre sulla circonferenza controimmagine di ciascun punto.

Se vuoi formalizzare questa idea, trova una parametrizzazione di questa controimmagine

Ok intuitivamente ci sono. Provo a trovare questa parametrizzazione... anche se penso sia un casino!

[solaàl]

ma no, è solo la fibrazione di Hopf...

[j18eos]

@3m0o

(1) Perfetto!

(3) Salvo mio errori, va bene!