Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Messaggioda Aletzunny » 06/03/2020, 12:35

Sia $f$ $in$ $L(V,V)$ l'endomorfismo simmetrico dell'$RR$ spazio vettoriale Euclideo $(V,<,>)$ di $dimV=n$. Allora esiste $lambda$ $in $ $R-{0}$ tale che $lambda$ appartiene
allo spettro di $f$.

Per preparare l'esame orale ho cercato su internet la dimostrazione di questo fatto ma non ho trovato nulla di così specifico.
Qualcuno ha un testo/pdf dove trovarla?
Oppure qualcuno mi può dare una mano?
Grazie
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Re: Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Messaggioda Aletzunny » 06/03/2020, 13:39

Sergio ha scritto:Secondo me non lo trovi perché è falso.


Ma come??

l'ho trovato negli appunti del mio professore.
per quale motivo sarebbe falsa?
Grazie
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Re: Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Messaggioda Bokonon » 06/03/2020, 13:52

@Aletzunny
Quanti endomorfismi simmetrici (o anche non) conosci che abbiano come immagine il solo vettore nullo?
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Re: Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Messaggioda Aletzunny » 06/03/2020, 13:57

Bokonon ha scritto:@Aletzunny
Quanti endomorfismi simmetrici (o anche non) conosci che abbiano come immagine il solo vettore nullo?


Quello del $ker$(?)
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Re: Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Messaggioda Aletzunny » 06/03/2020, 13:58

Sergio ha scritto:Se $f\in L(V,V)$ è simmetrico, un corollario del teorema spettrale ti dice che gli autovalori sono tutti reali, ma non ti dice che sono tutti non nulli.
I casi sono tre:
a) è un automorfismo;
b) nell'enunciato $\lambda \in RR - {0}$ è scivolato dalla penna e si deve intendere $\lambda \in RR$ e basta;
c) mi perdo qualcosa :wink:


Ma è esiste... cioè almeno c'è un autovalore diverso da zero...
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Re: Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Messaggioda Bokonon » 06/03/2020, 15:35

@Aletzunny
Esclusa l'applicazione identicamente nulla, la dimensione massima del kernel è $n-1$.
Il kernel è l'autospazio legato all'autovalore 0.
Quindi un esiste almeno un autovalore reale diverso da zero.
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Re: Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Messaggioda Aletzunny » 06/03/2020, 18:05

Bokonon ha scritto:@Aletzunny
Esclusa l'applicazione identicamente nulla, la dimensione massima del kernel è $n-1$.
Il kernel è l'autospazio legato all'autovalore 0.
Quindi un esiste almeno un autovalore reale diverso da zero.


Dunque così questa potrebbe essere la dimostrazione?
Nel senso mi aspettavo molti passaggi
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Re: Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Messaggioda Bokonon » 06/03/2020, 18:40

Devi dimostrarlo però.
Una volta che hai l'impianto logico, richiama un paio di teoremi (spettrale e rango+nullità) per dimostrare che, oltre il caso banale, l'immagine di un endomorfismo ha dimensione $>=1$ per cui il kernel ha dimensione massima $n-1$, etc etc
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Re: Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Messaggioda Aletzunny » 06/03/2020, 19:33

Quindi, perdonami, la tesi segue perché la dimensione del $ker$ in un endomorfismo al massimo è sempre $n-1$ (da dimostrare) e la dimensione dell'immagine è sempre $>=1$(da dimostrare).

Ma perché allora da ciò si può dire che certamente un autovalore sarà diverso da $0$ ?

Pensavo di aver capito, ma mi sto perdendo su questo aspetto.

Grazie
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Re: Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Messaggioda Bokonon » 06/03/2020, 21:12

La logica è:
- un endomorfismo che ha un'immagine di dimensione 0 è associato alla matrice nulla
- qualsiasi altro endomorfismo ha un'immagine di dimensione $1<=dim Im(f)<=n$
- dal teorema di rango + nullità sappiamo quindi che $0<=dim ker(f)<=n-1$.
- da cui segue che l'autospazio legato all'autovalore zero ha dimensione massima $n-1$
- poiché l'endomorfismo è simmetrico, sappiamo dal teorema spettrale che è diagonalizzabile e che ha esattamente n autovalori reali.
-quindi esiste almeno un autospazio collegato ad un autovalore diverso da zero.
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