Re: Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Messaggioda Aletzunny » 06/03/2020, 23:40

Bokonon ha scritto:La logica è:
- un endomorfismo che ha un'immagine di dimensione 0 è associato alla matrice nulla
- qualsiasi altro endomorfismo ha un'immagine di dimensione $1<=dim Im(f)<=n$
- dal teorema di rango + nullità sappiamo quindi che $0<=dim ker(f)<=n-1$.
- da cui segue che l'autospazio legato all'autovalore zero ha dimensione massima $n-1$
- poiché l'endomorfismo è simmetrico, sappiamo dal teorema spettrale che è diagonalizzabile e che ha esattamente n autovalori reali.
-quindi esiste almeno un autospazio collegato ad un autovalore diverso da zero.



Ecco capito il motivo: il mio prof usa questo fatto che esista almeno un autovalore diverso da zero per poter dimostrare a passi il teorema spettrale reale!
L'unico suggerimento per la dimostrazione è stato quello di dirci di considerare la matrice $A=A^T in M_n(RR)$ e interpretarla come matrice su $CC$ con il proprio prodotto scalare hermitiano di $(CC)^n$
Ma non ho davvero idea di come procedere.
Spero però di aver dato l'idea
Aletzunny
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 827 di 2886
Iscritto il: 27/11/2017, 18:20

Re: Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Messaggioda Bokonon » 07/03/2020, 09:52

Prendi la dimostrazione generale del teorema in $CC$ e considera il caso particolare
Avatar utente
Bokonon
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 2096 di 5942
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Messaggioda Aletzunny » 07/03/2020, 11:14

Bokonon ha scritto:Prendi la dimostrazione generale del teorema in $CC$ e considera il caso particolare


Teorema spettrale o quello che assicura che anche in $CC$ $lambda$ è in $RR$ ?
Aletzunny
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 829 di 2886
Iscritto il: 27/11/2017, 18:20

Re: Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Messaggioda Bokonon » 07/03/2020, 12:30

È la stessa cosa. Il teorema generale assicura che gli autovalori siano comunque reali e include ovviamente anche il caso in cui le entrate delle matrici abbiano le parti immaginarie nulle (quindi quando $A^T=A$)
Ultima modifica di Bokonon il 07/03/2020, 12:32, modificato 1 volta in totale.
Avatar utente
Bokonon
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 2097 di 5942
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Messaggioda Aletzunny » 07/03/2020, 12:32

Grazie
Aletzunny
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 832 di 2886
Iscritto il: 27/11/2017, 18:20

Re: Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Messaggioda Aletzunny » 07/03/2020, 14:53

Sergio ha scritto:
Aletzunny ha scritto:L'unico suggerimento per la dimostrazione è stato quello di dirci di considerare la matrice A=AT∈Mn(R) e interpretarla come matrice su C con il proprio prodotto scalare hermitiano di (C)n


In una forma sesquilineare (ed è tale il prodotto hermitiano) si ha \(\langle \alpha v,w\rangle = \alpha\langle v,w\rangle\), \(\langle v,\alpha w\rangle = \overline\alpha\langle v,w\rangle\).
Se $A$ è un operatore simmetrico, si ha \(\langle Av,w\rangle=\langle v,Aw\rangle\). Se \(\lambda\) è un autovalore, se cioè \(Av=\lambda v\), si ha \(\langle \lambda v,w\rangle = \langle v,\lambda w\rangle\).
Ma si ha anche \(\lambda \langle v,w\rangle=\overline\lambda\langle v, w\rangle\), quindi \(\lambda = \overline\lambda\), cioè \(\lambda\in\mathbb{R}\).


Ma questo implica che sia diverso da zero almeno un autovalore?
Aletzunny
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 833 di 2886
Iscritto il: 27/11/2017, 18:20

Re: Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Messaggioda dissonance » 09/03/2020, 03:57

Bokonon ha scritto:@Aletzunny
Esclusa l'applicazione identicamente nulla, la dimensione massima del kernel è $n-1$.
Il kernel è l'autospazio legato all'autovalore 0.
Quindi un esiste almeno un autovalore reale diverso da zero.

Detto così, è falso. Per esempio,
\[
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\]
non è identicamente nulla e ha solo \(0\) come autovalore. Bisogna usare il fatto che la matrice è simmetrica, naturalmente, e quella di questo esempio non lo è.
dissonance
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 16189 di 27757
Iscritto il: 24/05/2008, 19:39
Località: Nomade

Re: Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Messaggioda Bokonon » 09/03/2020, 11:39

@Dissonance
Ok sono stato stringato e impreciso in quel post ma avrai letto pure gli altri.
Avatar utente
Bokonon
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 2099 di 5942
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Messaggioda Aletzunny » 09/03/2020, 11:42

Bokonon ha scritto:La logica è:
- un endomorfismo che ha un'immagine di dimensione 0 è associato alla matrice nulla
- qualsiasi altro endomorfismo ha un'immagine di dimensione $1<=dim Im(f)<=n$
- dal teorema di rango + nullità sappiamo quindi che $0<=dim ker(f)<=n-1$.
- da cui segue che l'autospazio legato all'autovalore zero ha dimensione massima $n-1$
- poiché l'endomorfismo è simmetrico, sappiamo dal teorema spettrale che è diagonalizzabile e che ha esattamente n autovalori reali.
-quindi esiste almeno un autospazio collegato ad un autovalore diverso da zero.


Questo non è corretto e preciso?
Aletzunny
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 835 di 2886
Iscritto il: 27/11/2017, 18:20

Re: Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Messaggioda Bokonon » 09/03/2020, 13:09

Ecco me l'hai confuso con intervento francamente inutilmente pignolo.
@Aletzunny va benissimo.
Però dovresti averlo capito oramai il ragionamento e di conseguenza la critica di dissonance al post in cui non ho scritto tutti i passaggi a differenza di quello che hai quotato.
Avatar utente
Bokonon
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 2100 di 5942
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

PrecedenteProssimo

Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite