Proprieta di estensione per omotopia

[3m0o]

Non capisco la soluzione di questo esercizio.
Sia \(a_1\) un punto di uno spazio connesso per archi e ben puntato \((A,a_0)\). Dimostra che esiste un'equivalenza d'omotopia \(A \to A \) che invia \(a_0\) su \(a_1\).
Scegliamo \( \omega \) un cammino tra \(a_0\) e \(a_1\) in \(A\) (lo posso fare perché lo spazio è connesso per archi) scegliamo \(id_A\). La proprieta d'estensione di omotopia permette di costruire un omotopia \(H: A \times I \to A \) trale che \( H(a_0,t)=\omega(t) \) per ogni \( t >0 \) e \(H(a,0)=id_A(a)\) (questo perché lo spazio è ben puntato e \( id_A(a)= \omega(0)\)) poniamo \( g(t)= H(t,1) \). Siccome \(g\) è omotopo all'identità (questo non l'ho capito), è un'equivalenza d'omotopia (nemmeno questo ho capito) non puntata! (cos'è un omotopia non puntata??) e \(H(a_0,1)= \omega(1)=a_1 \).

[otta96]

Cosa intendi con spazio ben puntato?

[3m0o]

Cosa intendi con spazio ben puntato?

Non ho trovato una traduzione in italiano e quindi gli ho tradotti letteralmente, tra le " " i termini tradotti letteralmente.
Diciamo che uno "spazio puntato" \((A,a_0) \) è "ben puntato" se l'inclusione del punto base \( a \to A \) possiede la "proprietà d'estensione di omotopia", ovvero che per ogni cammino \( \omega : I \to Y \) et per tutte le applicazioni \(f: A \to Y \) tali che \(f(a_0)=\omega(0) \) possiamo estendere il cammino \( \omega \) in un omotopia \( H : A \times I \to Y \) tale che \( H(a_0,t) = \omega(t) \) per tutti i \(t \) e \( H(a,0)=f(a) \) per tutti gli \(a\).

Edit: anche se credo che la frase corretta sia "se l'inclusione del punto base sia \( a_0 \to A \) " e il prof si sia perso un _0

[solaàl]

Cosa intendi con spazio ben puntato?

Uno spazio è ben puntato se l'inclusione del suo punto distinto è una cofibrazione

[3m0o]

Presumo che quando dice \( g \) è omotopo all'identità intende che è omotopicamente equivalente. Pertanto dovrei avere che \( g \circ id_A = id_A\) e \( id_A \circ g = id_A \), ora ho che \( (g \circ id_A )(a) = g(a) = H(a,1)=\omega(1) \) che non è l'identità quindi non capisco.

Edit: io porrei \( g(a):= H(a,0) \) così sono omotopicamente equivalenti avendo
\[ (g \circ id_A )(a) = g(a) = H(a,0)=id_A(a) \] e
\[ (id_A \circ g)(a) = id_A(H(a,0)) = id_A(id_A(a))=a \]
ma non campisco perché pone \( g(a)=H(a,1) \).

E presumo che quando dice che è un equivalenza d'omotopia non puntata intende dire che \( (A,a_0 ) \) è omotopicamente equivalente a \( (A,a) \) per ogni \( a \in A \). Anche se non capisco il termine "non puntata" pertanto se \( g \) p omotopo all'identità abbiamo trovato due applicazioni omotopicamente equivalenti tra i due spazi e pertanto i due spazi sono omotopicamente equivalenti. Giusto?

[solaàl]

Presumo che quando dice \( g \) è omotopo all'identità intende che è omotopicamente equivalente. Pertanto dovrei avere che \( g \circ id_A = id_A\) e \( id_A \circ g = id_A \), ora ho che \( (g \circ id_A )(a) = g(a) = H(a,1)=\omega(1) \) che non è l'identità quindi non capisco.

Questo che hai scritto non significa molto: ciò che ti viene detto è che esiste un'equivalenza omotopica tra $g$ e l'identità; del resto, allora, $g$ è un'equivalenza omotopica, ha un'inversa a meno di omotopia data proprio dall'omotopia che la mette nella stessa ccpa dell'identità.

[3m0o]

Nel senso
Definizione:
\(f\) e \(g\) continue da \(X \to Y \), due spazi sono dette omotope se esiste \( H : X \times I \to Y \) continua tale che \( H(x,0)=f(x) \) e \(H(x,1) = g(x) \) per ogni \( x \in X \)

Dunque per costruzione abbiamo che \( H(a,0)=id_A(a) \) e \(H(a,1)=g(a) \) per ogni \(a \in A \) e pertanto \( g \) è omotopo all'identità.

Due spazi \(X,Y \) sono omotopicamente equivalenti (o hanno lo stesso tipo di omotopia) se esistono due funzioni \(f:X \to Y \) e \(g:Y \to X \) tale che \( g \circ f \) e \( f \circ g \) sono omotope all identità.

\( f \) e \( g \) sono un equivalenza di omotopia se sono due funzioni che soddisfano quanto detto qui sopra.

Io devo dimostrare che \( (A,a_0 ) \) è omotopicamente equivalente a \( (A,a_1) \) per ogni \( a_1 \in A \) (se ho capito bene).

Fissiamo \(a_1 \in A\). Abbiamo che siccome \( (A,a_0) \) è ben puntato abbiamo che esiste un omotopia \(H \) tra l'identità e il cammino \( \omega \) tale che \( H(a_0,t)=\omega(t) \) e \( H(a,0)=id_A(a) \) per ogni \(a \in A \).

\( g(a)=H(a,1) \) manda \( a_0 \mapsto g(a_0)=H(a_0,1)=\omega(1) = a_1 \).
Quindi devo trovare una funzione \(f \) che composta con \(g \) è omotopa all'identità, siccome l'identità su \( (A,a_0 ) \) e su \( (A,a_1) \) coincidono.
Quindi la mappa identità \( id_A \) composta con \(g \) è omotopa all'identità (nel commento sopra ho fatto confusione la composizione non dev'essere l'identità ma omotopa all'identità.)
Infatti \( id_A \circ g = g \) e \( g \circ id_A = g \).
Giusto?