Dimostra che hanno il tipo d'omotopia del wedge \(A \vee B \) non dipende dalla scelta del punto di base di \(A\).
b) Sia \(X \) il sottoinsieme di \( \mathbb{R} \) formato dai punti \(0\) e \( 1/n \) per tutti gli interi \( n \geq 1 \). Dimostra che il wedge \( X \vee X \) non ha lo stesso tipo di omotopia se scegliamo \(0\) o \(1 \) come punto di base.
Per il punto a) non capisco due cose
Abbiamo già visto che \( (A,a_0) \) è omotopicamente equivalente a \((A,a_1) \), sia dunque \(g\) una relazione d'omotopia e definiamo \( h : A \vee_{a_0} B \to A \vee_{a_1} B \) ponendo \(h(a)=g(a)\) se \(a \in A \) e \( h(b)=b \) se \(b \in B \). L'applicazione è ben definita visto \(h(a_0)=g(a_0)=a_1\) e \(b_0=h(b_0)\).
Chiaramente \( h \) è una equivalenza d'omotopia (come wedge tra due equivalence d'omotopie)
- La prima cosa non capisco perché per essere ben definita deve verificare che \(h(a_0)=g(a_0)=a_1\) e \(b_0=h(b_0)\)
- La seconda cosa cos'è il wedge tra applicazioni?
Nel senso io l'ho interpretata in questo modo ma non so se sia corretto.
\( h \vee h \) dove la "coordinata" prende un elemento di \(A \) e la seconda "coordinata" prende un elemento di \(B \). Chiaramente ristretta su \( B \), \(h \) è omotopo all'identità e ristretta su \( A \) è pure omotopo all'identità e quindi posso dire (?) che \( h \vee h \) è omotopo a \( id_A \vee id_B \). Non so se sia corretta la mia interpretazione ne tanto meno riesco a capire il significato di \( h \vee h \) o in generale il signifcato di \( f \vee g \) dove \(f,g\) sono due applicazioni.
b) Chiamiamo \( Y_0 := X \vee_0 X \) e \( Y_1 := X \vee_1 X \) i due wedges. Osserviamo che tutti i cammini in ciascuno di questi due spazi è costante. Abbiamo che \( \pi_0 Y_0 \) è in biezione con \( Y_0 \) e \( \pi_0 Y_1 \) è in biiezione con \( Y_1 \). Se \(f \) è un equivalenza d'omotopia \( Y_0 \to Y_1 \), siccome \( \pi_0 \) è un invariante omotopico, \(f \) dev'essere una biiezione. Siccome il primo spazio \( Y_0 \) possiede un unico punto d'accumulazione e la sua immagine dev'essere un punto d'accumulazione di \( Y_1 \), che ne ha due.
Ora onestamente in questo esercizio non ho capito nulla!
Premetto che, io non so il motivo, non abbiamo visto nulla di teoria su questi argomenti ma il prof ci da comunque gli esercizi. Quindi se qualcuno avessere una referanza da passarmi sarebbe bello.
- Non sono sicuro del significato di \( \pi_0 Y_0\) ma presumo che rappresenti il gruppo fondamentale.
- Se sì ( ricordo che non abbiamo mai visto il gruppo fondamentale) non capisco perché \( \pi_0Y_0 \) è in biiezione con \( Y_0 \). Forse perché le classi di equivalenza dei cammini contengono un cammino solo ed è proprio il cammino che manda \( \gamma : [0,1] \to \{x\} \) con \( x \in X \vee X \)?
- Cos'è un invariante omotopico?
- \( \pi_0 \) cos'è ? Cosa intende che \( \pi_0 \) è un invariante omotopico?
- Perché \(f \) dev'essere una biiezione?
- Perché l'immagine di un punto d'accumulazione in \(Y_0 \) dev'essere un punto d'accumulazione in \( Y_1 \)
- Perché \( Y_1 \) ha due punti di accumulazione?
- Qual'è la conclusione??
\( Y_0 \) possiede un unico punto d'accumulazione e la sua immagine dev'essere un punto d'accumulazione di \( Y_1 \), che ne ha due.
Bene okay e quindi? Dove sta la contraddizione?
Io posso mandare un punto di accumulazione in un punto di accumulazione e un altro punto sul secondo punto di accumulazione, no? O Deve valere anche che se \( g \) è una relazione di omotopia \( g: Y_1 \to Y_0 \) allora i punti di accumulazione di \( Y_1 \) devono essere mandati ai punti di accumulazione di \( Y_0 \) e siccome \(g\) è biiezione (per lo stesso motivo di \(f \) presumo) ho una contraddizione.