Bouquet tra spazi puntati

[3m0o]

a)Sia \((A,a_0) \) uno spazio connesso per archi ben puntato e \( (B,b_0) \) uno spazio puntato.
Dimostra che hanno il tipo d'omotopia del wedge \(A \vee B \) non dipende dalla scelta del punto di base di \(A\).
b) Sia \(X \) il sottoinsieme di \( \mathbb{R} \) formato dai punti \(0\) e \( 1/n \) per tutti gli interi \( n \geq 1 \). Dimostra che il wedge \( X \vee X \) non ha lo stesso tipo di omotopia se scegliamo \(0\) o \(1 \) come punto di base.

Per il punto a) non capisco due cose
Abbiamo già visto che \( (A,a_0) \) è omotopicamente equivalente a \((A,a_1) \), sia dunque \(g\) una relazione d'omotopia e definiamo \( h : A \vee_{a_0} B \to A \vee_{a_1} B \) ponendo \(h(a)=g(a)\) se \(a \in A \) e \( h(b)=b \) se \(b \in B \). L'applicazione è ben definita visto \(h(a_0)=g(a_0)=a_1\) e \(b_0=h(b_0)\).
Chiaramente \( h \) è una equivalenza d'omotopia (come wedge tra due equivalence d'omotopie)

- La prima cosa non capisco perché per essere ben definita deve verificare che \(h(a_0)=g(a_0)=a_1\) e \(b_0=h(b_0)\)
- La seconda cosa cos'è il wedge tra applicazioni?
Nel senso io l'ho interpretata in questo modo ma non so se sia corretto.
\( h \vee h \) dove la "coordinata" prende un elemento di \(A \) e la seconda "coordinata" prende un elemento di \(B \). Chiaramente ristretta su \( B \), \(h \) è omotopo all'identità e ristretta su \( A \) è pure omotopo all'identità e quindi posso dire (?) che \( h \vee h \) è omotopo a \( id_A \vee id_B \). Non so se sia corretta la mia interpretazione ne tanto meno riesco a capire il significato di \( h \vee h \) o in generale il signifcato di \( f \vee g \) dove \(f,g\) sono due applicazioni.

b) Chiamiamo \( Y_0 := X \vee_0 X \) e \( Y_1 := X \vee_1 X \) i due wedges. Osserviamo che tutti i cammini in ciascuno di questi due spazi è costante. Abbiamo che \( \pi_0 Y_0 \) è in biezione con \( Y_0 \) e \( \pi_0 Y_1 \) è in biiezione con \( Y_1 \). Se \(f \) è un equivalenza d'omotopia \( Y_0 \to Y_1 \), siccome \( \pi_0 \) è un invariante omotopico, \(f \) dev'essere una biiezione. Siccome il primo spazio \( Y_0 \) possiede un unico punto d'accumulazione e la sua immagine dev'essere un punto d'accumulazione di \( Y_1 \), che ne ha due.

Ora onestamente in questo esercizio non ho capito nulla!
Premetto che, io non so il motivo, non abbiamo visto nulla di teoria su questi argomenti ma il prof ci da comunque gli esercizi. Quindi se qualcuno avessere una referanza da passarmi sarebbe bello.
- Non sono sicuro del significato di \( \pi_0 Y_0\) ma presumo che rappresenti il gruppo fondamentale.
- Se sì ( ricordo che non abbiamo mai visto il gruppo fondamentale) non capisco perché \( \pi_0Y_0 \) è in biiezione con \( Y_0 \). Forse perché le classi di equivalenza dei cammini contengono un cammino solo ed è proprio il cammino che manda \( \gamma : [0,1] \to \{x\} \) con \( x \in X \vee X \)?
- Cos'è un invariante omotopico?
- \( \pi_0 \) cos'è ? Cosa intende che \( \pi_0 \) è un invariante omotopico?
- Perché \(f \) dev'essere una biiezione?
- Perché l'immagine di un punto d'accumulazione in \(Y_0 \) dev'essere un punto d'accumulazione in \( Y_1 \)
- Perché \( Y_1 \) ha due punti di accumulazione?
- Qual'è la conclusione??

\( Y_0 \) possiede un unico punto d'accumulazione e la sua immagine dev'essere un punto d'accumulazione di \( Y_1 \), che ne ha due.

Bene okay e quindi? Dove sta la contraddizione?
Io posso mandare un punto di accumulazione in un punto di accumulazione e un altro punto sul secondo punto di accumulazione, no? O Deve valere anche che se \( g \) è una relazione di omotopia \( g: Y_1 \to Y_0 \) allora i punti di accumulazione di \( Y_1 \) devono essere mandati ai punti di accumulazione di \( Y_0 \) e siccome \(g\) è biiezione (per lo stesso motivo di \(f \) presumo) ho una contraddizione.

[solaàl]

cos'è il wedge tra applicazioni?

Se ti è chiaro cos'è il wedge di spazi, dimostra che la corrispondenza \((A,B)\mapsto A\vee B\) è un bifuntore: questo significa che ogni coppia di mappe continue \(f :A\to A'\) e \(g : B \to B'\) induce un quadrato commutativo
\[
\begin{CD}
A \vee B @>f\vee B>> A'\vee B \\
@VA\vee g VV @VVA'\vee g V \\
A \vee B' @>>f \vee B' > A'\vee B'
\end{CD}
\] la cui diagonale chiami \(f\vee g\), e che \(\text{id}_A \vee \text{id}_B = \text{id}_{A\vee B}\). La definizione l'hai già data, devi solo controllare che ha questa proprietà. Una volta fatto questo, devi mostrare che questa costruzione è compatibile con le omotopie, cioè che se \(f\simeq f'\) e \(g\simeq g'\) sono omotope, allora \(f\vee g\simeq f'\vee g'\).

Non sono sicuro del significato di \( \pi_0 Y_0\) ma presumo che rappresenti il gruppo fondamentale.

No, assolutamente no: \(\pi_1Y\) è il primo gruppo di omotopia di \(Y\); \(\pi_0Y\) è lo zeresimo "gruppo" di omotopia di \(Y\), ossia l'insieme puntato delle sue componenti connesse per archi. Esso è definito da \([(S^0,1), (Y,y_0)]\) (classi di omotopia dalla sfera 0-dimensionale, ossia dall'insieme {0,1}, in $Y$, che mandano $1$ nel punto $y_0$, allo stesso modo in cui \(\pi_1=[(S^1,1), (Y,y_0)]\) e più in generale \(\pi_n=[(S^n,1),(Y,y_0)]\). (Questo risponde anche a una delle domande sotto).

Cos'è un invariante omotopico?

Un invariante omotopico è un funtore \(P : {\sf Top} \to \mathcal K\) tale per cui $PX \cong PY$ (PX e PY sono isomorfi in \(\mathcal K\)) se e solo se \(X\simeq Y\) (X,Y sono omotopi in \(\sf Top\)). La collezione di tutti i gruppi di omotopia è quasi un invariante omotopico; lo è se definisci \(\sf Top\) nel modo giusto. Un invariante omotopico "debole" ha solo metà di quell'equivalenza logica: se due spazi sono omotopi, allora $PX\cong PY$. Ciascuno dei \(\pi_n : {\sf Top} \to {\sf Grp}\) ha questa proprietà.

[3m0o]

Riusciresti a darmi una comprensione più intuitiva e geometrica e meno astratta?
ps: non ho visto cosa sono i funtori.

[solaàl]

una comprensione più intuitiva e geometrica e meno astratta

Di tutto, di una parte, di una definizione, di un fatto?

[3m0o]

Di tutto, di una parte, di una definizione, di un fatto?

Della parte b) in generale dei concetti presenti nella parte b) dell'esercizio.

[3m0o]

Il wedges di \( \mathbb{R} \vee_0 \mathbb{R} \) è uno spazio a forma di "X" dove attacchiamo i punti \(0 \) e \(0' \). Mentre il wedges \( \mathbb{R} \vee_1 \mathbb{R} \) è uno spazio a forma di "X" dove attacchiamo i punti \(1 \) e \(1'\).
Ora siccome \(X \subset \mathbb{R} \) posso immaginarmi \( X \vee_0 X \) come sottospazio di \( \mathbb{R} \vee_0 \mathbb{R} \) e quindi ho un solo "zero" e sono i punti su una sorta di mezza "X" della forma "<" con i doppioni dei punti \( 1/n \) per ogni \( n \geq 1 \). Quindi ha un punto di accumulazione. Infatti dalle due estremità di "<" che sono i due uno distinti si accumulano nello stesso \(0 \).
Mentre \( X \vee_1 X \) ha un solo "uno" e mi immagino dei punti che giaciono sempre su una sorta di mezza "X" della forma "<" con i doppioni dei punti \( 1/n \) per ogni \( n > 1 \) e due zeri distinti. Quindi ha due punto di accumulazione. Perché dall'uno in comune posso andare in due zeri diversi.
- Come me lo immagino \( \pi_0 Y_0 \) ? E \( \pi_0 Y_1 \) ? In questo caso specifico e in generale?
- Se ad esempio un'omotopia me la immagino come una deformazione continua come mi immagino un oggetto che è un invariante omotopico?
- Non ho davvero capito perché \(f \) dev'essere una biiezione.

[solaàl]

Ti ho detto cos'è un invariante omotopico
E' un funtore che manda mappe omotope in isomorfismi.

Potrei svolgere la definizione di funtore, ma tanto vale che la leggi una volta per tutte e inizi a usarla; per $\pi_0$, questo sostanzialmente significa che ogni funzione continua \(f :X \to Y\) induce un omomorfismo di insiemi puntati \(\pi_0X \to \pi_0Y\); e se $f,g$ sono omotope allora \(\pi_0f,\pi_0g\) sono uguali. In più, quando $f$ è un equivalenza omotopica, \(\pi_0f\) è un isomorfismo.

Siccome \(pi_0Y_0 = Y_0, \pi_0Y_1=Y_1\), la mappa \(\pi_0f\) è una biiezione da \(Y_0\) a \(Y_1\).

[dissonance]

@solaàl: Invece secondo me faresti proprio meglio a svolgere le definizioni e a spiegare le cose usando il linguaggio adeguato al contesto, invece di continuare a forzare così. Se poi 3m0o vorrà, starà a lui in seguito andarsi a cercare le categorie. In questo modo, non priverai 3m0o del momento "aha", quando una persona si accorge che tanti altri concetti, da lui o lei previamente studiati nei campi più disparati, si possono unificare con un linguaggio universale.

[solaàl]

Il punto è questo: posso dire che un invariante omotopico è una "quantità" o una "cosa" che si associa a ciascuno spazio topologico, e che non cambia da $X$ a $Y$ se gli spazi erano omotopicamente equivalenti; del resto questa frase non significa nulla: cos'è una quantità, cos'è una cosa? Considero un raggiro parlare di matematica senza definizioni precise.

Formalizzare cos'ho detto significa definire un funtore, ed è per questo che sto dicendo che 3m0o sa già cos'è, solo non sa di saperlo.

In questo caso particolare, \(\pi_0\) è un invariante omotopico perché se \(X,Y\) sono omotopicamente equivalenti, allora \(\pi_0X = \pi_0Y\).

Il resto della dimostrazione va circa come segue: \(\pi_0Y_0 = Y_0\) (significa che le uniche componenti cpa di questo spazio sono i singoletti: è un fatto di topologia generale, non servono le categorie, che si dimostra usando qual è la topologia indotta su $Y_0$). Altrettanto è vero per \(Y_1\). Allora \(\pi_0f\) è una funzione tra insiemi puntati che sta in un quadrato
\[
\begin{CD}
\pi_0Y_0 @>\pi_0f>> \pi_0Y_1 \\
@VuVV @VVvV \\
Y_0 @>>f> Y_1
\end{CD}
\] le verticali $u,v$ sono biiezioni per quanto appena detto, e $v\pi_0f = fu$ (non ho detto "è commutativo": ma cosa ci ho guadagnato?); in più \(\pi_0f\) è una biiezione. Allora deve esserlo \(f\): questo, di nuovo, non è un teorema di categorie, è un fatto di Algebra 1 vero nei monoidi: se $xy=z$ e due tra $x,y,z$ sono invertibili, lo è anche il terzo elemento. La dimostrazione usa questo fatto per trovare un assurdo.