Somma convessa
Inviato: 10/03/2020, 01:24Avrei due dubbi sulla definizione di somma convessa.
Definizione: Siano \(S\), \( T \) due superfici, la somma convessa \( S \# T \) è ottenuta scegliendo \(s \in S, t \in T \) e due aperti \( U,V \) tale che \( s \in U \) e \(t \in V \) tale che \( U \approx \operatorname{Int}(D^2) \approx V \) e costruiamo dunque \[ (S \setminus U \coprod T \setminus V ) / x \sim f(x) \]
dove \( f: \partial U \xrightarrow{\approx} S^1 \xrightarrow{\approx} \partial V \)
Esempio: \( S \# S^2 = S \). Dove \(S \) è una superficie quelunque.
I miei dubbi sono:
1) Perché \( \partial U \) e \( \partial V \) sono omeomorfi a \(S^1 \) ?
2) Dove trovo una dimostrazione del fatto che la costruzione è indipendente dalle scelte di \(s \in S \) \( t \in T \) e \( s \in U \), \( t \in V \) e dell' omeomorfismo \( f \).
3) Non ho troppo bene capito l'esempio.
edit: Per il punto 2) il prof ha detto che è un risultato fuori corso e si chiama Teorema del Disco dimostrato da Palais nel 1960, cercando ho trovato questo ma non vedo il collegamento tra le due cose anche perché ho capito poco dell'enunciato. Ad ogni modo se qualcuno sapesse dove posso trovare una prova di questo teorema e spiegarmi a livello intuitivo il motivo per cui implica che la somma connessa è ben definita.
https://en.wikipedia.org/wiki/Disc_theorem
Definizione: Siano \(S\), \( T \) due superfici, la somma convessa \( S \# T \) è ottenuta scegliendo \(s \in S, t \in T \) e due aperti \( U,V \) tale che \( s \in U \) e \(t \in V \) tale che \( U \approx \operatorname{Int}(D^2) \approx V \) e costruiamo dunque \[ (S \setminus U \coprod T \setminus V ) / x \sim f(x) \]
dove \( f: \partial U \xrightarrow{\approx} S^1 \xrightarrow{\approx} \partial V \)
Esempio: \( S \# S^2 = S \). Dove \(S \) è una superficie quelunque.
I miei dubbi sono:
1) Perché \( \partial U \) e \( \partial V \) sono omeomorfi a \(S^1 \) ?
2) Dove trovo una dimostrazione del fatto che la costruzione è indipendente dalle scelte di \(s \in S \) \( t \in T \) e \( s \in U \), \( t \in V \) e dell' omeomorfismo \( f \).
3) Non ho troppo bene capito l'esempio.
edit: Per il punto 2) il prof ha detto che è un risultato fuori corso e si chiama Teorema del Disco dimostrato da Palais nel 1960, cercando ho trovato questo ma non vedo il collegamento tra le due cose anche perché ho capito poco dell'enunciato. Ad ogni modo se qualcuno sapesse dove posso trovare una prova di questo teorema e spiegarmi a livello intuitivo il motivo per cui implica che la somma connessa è ben definita.
https://en.wikipedia.org/wiki/Disc_theorem