Siano \(f,f':A \to X \) omotope. Allora \( Y:=X \cup_f CA \simeq X \cup_{f'} CA=:Y' \)
Dove \( CA \) è il cono di base \( f(A) \) e \( f'(A) \) rispettivamente.
Nella dimostrazione costruisce \( h' : Y' \to Y \) e \( h : Y \to Y' \) dimostra costruendo un omotopia \(K \) che \( h' \circ h \) è omotopa a \( id_{Y} \) e in modo analogo che \( h \circ h' \) è omotopa a \( id_{Y'} \).
La \( h \) è costruita per passaggio al quoziente di un applicazione \(X \coprod CA \to Y' \) tramite l'identificazione seguente, \( h \) ristretta a \(X \) è l'identità, mentre \[ [a,t] \mapsto \left\{\begin{matrix}
[a,2(t-1/2)]& \text{se} & 1/2 \leq t \leq 1 \\
H(a,2t)& \text{se} & 0 \leq t < 1/2
\end{matrix}\right. \]
dove \( H : A \times I \to X \) è un omotopia di \( f \) verso \(f' \).
\( h ' \) primo è costruito in modo analogo utilizzando \( H( \cdot, 1-t) \) al posto di \( H(\cdot,t) \).
Ora
\[ h' \circ h \mid_{CA} : \left\{\begin{matrix}
[a,t] \xrightarrow{h} [ a,2t-1] \xrightarrow{h'} [a,4t-3] & \text{se} & 3/4 \leq t \leq 1 \\
[a,t] \xrightarrow{h} [ a,2t-1] \xrightarrow{h'} H(a,3-4t)& \text{se} & 1/2 \leq t \leq 3/4 \\
[a,t] \xrightarrow{h} H( a,2t) \xrightarrow{h'} H(a,2t)& \text{se} & 0 \leq t \leq 1/2
\end{matrix}\right. \]
intuitivamente percorriamo il cono \(CA \) in \( Y \) 4 volte più velocemente sul 1/4 di cono superiore, poi utilizziamo \(H \) per fare il legame tra \(f \) e \(f' \) e poi torniamo indietro con l'omotopia inversa.
[Inizio commento mio]
A me sembra il contrario, nel senso che prima utilizziamo \( H \) per legare \( f \) e \( f ' \) e poi torniamo indietro e poi costruiamo l'intero cono in \( Y \) 4 volte più velocemente.
[Fine commento mio]
Ad esempio se \( A \) è solo un punto il cono \(CA\) è un segmento.
Nell'immagine 1) l'equivalenza di omotopia \(h \) trasforma continuamente il punto \(f(A) \) in \( f'(A) \) e poi costruiamo il cono in \( Y' \) due volte più velocemente perché abbiamo "perso" tempo a trasformare \(f(A) \) in \(f'(A) \).
Nell'immagine 2) la mappa \( h ' \circ h \) che trasforma continuamente il punto \(f(A) \) in \( f'(A) \) e torniamo indietro trasformando continuamente \( f'(A) \) in \( f(A) \) e costruiamo il cono in \( Y \) 4 volte più velocemente poiché abbiamo "perso"
Immagine 1)
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine 2)
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
[Inizio commento mio]
Quello a mi risulterebbe intuitivamente più corretto avere che dobbiamo costruire l'intero cono con una velocità superiore e non solo il 1/4 di cono superiore. E poi perché 4 volte più veloce? ( si lo so \( 3/4 \leq t \leq 1 \) ) ma intendo che se il tempo a nostra disposizione è \(1 s\) a me pare piu logico che dovrebbe risultare che in un primo terzo di secondo ci siamo spostati da \( f(A) \) verso \( f'(A) \) in un secondo terzo di secondo ci siamo spostati da \( f'(A) \) a \( f(A) \). Ora dobbiamo costruire il cono nel terzo restante e dunque costruirlo 3 volte piu rapidamente ed interamente non solo una sua parte.
Detto ciò l'altra cosa che mi perplime è il fatto che non spendiamo mai del tempo a costruire e poi smontare il cono in \( Y' \), per finire vogliamo dimostrare che \( Y \) è omotopo a \( Y' \) dunque mi parebbe più sensato
\( f(A) \) trasformata in \( f'(A) \), poi costruiamo il cono in \( Y' \) poi smontiamo il cono in \( Y' \) poi trasformiamo \( f'(A) \) in \( f(A) \) ed infine costruiamo \( Y \). Oppure siccome la costruzione del cono in \( Y \) è data dal pushout quozientato per la relazione di equivalenza \( \sim \) che identifica \( f(a) \sim g(a) \) per ogni \( a \in A \) e in piu per garantire la transitivitià se \(x = f(a) \sim g(a) = g(a') \sim f(a')=x' \), dove \( g: A \to CA \) e quindi non c'entra assolutamente nulla con le omotopia \(h \) e \(h' \).
![\xymatrix{
A \ar@{}[dr]|(.75)\bullet\ar[r]^{i_A} \ar[d]_f & CA \ar[d]^{j_1} &
A \ar@{}[dr]|(.75)\bullet\ar[r]^{i_A} \ar[d]_{f^\prime} & CA \ar[d]^{j_2}\\
X \ar[r]_{c_1}& Cf &
X \ar[r]_{c_2}& Cf^\prime
}](/forum/latexrender/pictures/88f4aa73b0ee88f3a7971edf1682463c.png "\xymatrix{
A \ar@{}[dr]|(.75)\bullet\ar[r]^{i_A} \ar[d]_f & CA \ar[d]^{j_1} &
A \ar@{}[dr]|(.75)\bullet\ar[r]^{i_A} \ar[d]_{f^\prime} & CA \ar[d]^{j_2}\\
X \ar[r]_{c_1}& Cf &
X \ar[r]_{c_2}& Cf^\prime
}")
![\xymatrix{
A \ar@{}[dr]|(.75)\bullet \ar[r]\ar[d]& CA\ar[d]\ar@/^1pc/[ddr]^{j_1} & & A\ar@{}[dr]|(.75)\bullet \ar[r]\ar[d] & CA\ar[d]\ar@/^1pc/[ddr]^{j_2} & \\
A\times I\ar@/_1pc/[dr]_H \ar[r]_{c_1} & CA\ar@{.>}[dr]^{\bar H_1} && A\times I\ar@/_1pc/[dr]_H \ar[r]_{c_2} & CA\ar@{.>}[dr]^{\bar H_2} \\
&X \ar[r] &Cf& &X \ar[r] &Cf^\prime
}](/forum/latexrender/pictures/230b598e323fe667f6093125739f33ad.png "\xymatrix{
A \ar@{}[dr]|(.75)\bullet \ar[r]\ar[d]& CA\ar[d]\ar@/^1pc/[ddr]^{j_1} & & A\ar@{}[dr]|(.75)\bullet \ar[r]\ar[d] & CA\ar[d]\ar@/^1pc/[ddr]^{j_2} & \\
A\times I\ar@/_1pc/[dr]_H \ar[r]_{c_1} & CA\ar@{.>}[dr]^{\bar H_1} && A\times I\ar@/_1pc/[dr]_H \ar[r]_{c_2} & CA\ar@{.>}[dr]^{\bar H_2} \\
&X \ar[r] &Cf& &X \ar[r] &Cf^\prime
}")
![\xymatrix{
A \ar@{}[dr]|(.7)\bullet \ar[r] \ar[d]& CA\ar@/^1pc/[ddr]^{c_1} \ar[d] && A\ar@{}[dr]|(.7)\bullet \ar[r] \ar[d] & CA\ar[d]\ar@/^1pc/[ddr]^{c_2} \\
X\ar[r]\ar@/_1pc/[drr]_{\bar H_1} & Cf \ar@{.>}[dr]_b&& X \ar[r]\ar@/_1pc/[drr]_{\bar H_2}& Cf^\prime \ar@{.>}[dr]^a\\
&&Cf^\prime && & Cf
}](/forum/latexrender/pictures/ac34efad9f93060e47c37d223dedbffc.png "\xymatrix{
A \ar@{}[dr]|(.7)\bullet \ar[r] \ar[d]& CA\ar@/^1pc/[ddr]^{c_1} \ar[d] && A\ar@{}[dr]|(.7)\bullet \ar[r] \ar[d] & CA\ar[d]\ar@/^1pc/[ddr]^{c_2} \\
X\ar[r]\ar@/_1pc/[drr]_{\bar H_1} & Cf \ar@{.>}[dr]_b&& X \ar[r]\ar@/_1pc/[drr]_{\bar H_2}& Cf^\prime \ar@{.>}[dr]^a\\
&&Cf^\prime && & Cf
}")
