Proprietà del sottospazio generato.

[Pasquale 90]

Buonasera, vi vorrei chiedere alcune chiarimenti riguardante la definizione di sottospazio generato, vi riporto la definizione

Sia $X$ un sottoinsieme di uno spazio vettoriali $V$ sul campo $K$. Sia $V(X)$ l'insieme costituito dai sottospazi vettoriali contenenti $X$.

Definizione: Si definisce sottospazio generato da $X$, l'intersezione degli elementi di $V(X)$.
In simoboli

$<X>\ = \ bigcap_(U in V(X))U.$

Caratterizzazione: Sia $U$ sottospazio vettoriale risulta :

$U \=\ <X> \ <=> $ \(\displaystyle \begin{cases} 1) U\ \mbox{sottospazio vettoriale contenente}\ X \\ 2) U\ \mbox{contenuto in ogni sottospazio vettoriale contenente}\ X \end{cases} \)

Devo dimostrare che risulti $U+W=<U cup W>$ con $U,W$ sottospazi vettoriali.

Seguendo la caratterizzazione devo far vedere:
1) $U subseteq U+W$ e $W subseteq U+W,$ quindi $UcupW subseteq U+W,$
2) $U subseteq A$ dove $A$ sottospazio vettoriali contenente $U cup W.$


Per definizione risulta

$<U cup W> \=\ bigcap_(Y in V(U cup W))Y$

Per la definizione di $V(U cup W)$ risulta:

$U subseteq U cup W subseteq Y$, con sia $(Y in bigcap_(Y in V(U cup W))Y) \ to U subseteq U+W $

$W subseteq U cup W subseteq Y$, con sia $(Y in bigcap_(Y in V(U cup W))Y) \ to W subseteq U+W $

quindi $U cup W subseteq U+W$

Invece per il punto 2) sia $A$ tale che $U cup W subseteq A$ per definizione abbiamo $ A in bigcap_(Y in V(U cup W))Y $ allora $U+W subseteq A$

Ciao

[marco2132k]

Non ho letto tutto, però puoi provare così quella cosa: dimostra che \( \langle{-}\rangle\colon X\mapsto \langle X\rangle \) è una chiusura; la tesi poi segue subito.

[dissonance]

@marco: ma hai sostanzialmente girato la frittata, dimostrare che quella roba lì è una chiusura, qualsiasi cosa ciò voglia dire, non mi sembra più semplice che dimostrare direttamente quanto chiesto. Anzi.

[marco2132k]

Sì, quasi. Però è più comodo lavorare solo con quelle tre proprietà (assieme a quelle d'ordine di \( {\subset} \)) che con "l'insieme dei tutti gli spazi che contengono \( U \) e \( W \)". (Poi, più difficile cosa? La prima e la seconda sono immediate; per la terza, basta che dimostri, se non lo sa già, che \( \langle X\rangle \) è il \( \min \) dei sottospazi contenenti \( X \)).

[Pasquale 90]

Ciao.

@marco Non ci sono ancora arrivato a questo argomento se ho capito bene quello che tu mi suggerisci.
L'esempio da me postato, viene subito dopo la caratterizzazione. Quindi presumo che si potrebbe dimostrare semplicemente con la caratterizzazione.

[marco2132k]

Sì, ma la tua "caratterizzazione" dice esattamente che, con la relazione d'ordine indotta dall'inclusione, l'\( \inf \) di una famiglia di sottospazi è esattamente la loro intersezione (l'"\( \inf \)" è lo stesso estremo inferiore dell'analisi, basta che tu sostituisca \( \subset \) a \( < \) nella definizione).

Comunque, 1) vale \( X\subset\langle X\rangle \) per ogni sottoinsieme \( X\) di \( V \) (se \( x\in X \), allora \( x\in M \), per ogni sottospazio \( M \) tale che \( X\subset M \), e questo ti dice esattamente che \( x\in\bigcap\{\text{sottospazi di $ V $ contenenti $ X $}\} \); in altre parole \( \langle X\rangle\) è anche il \( \min \) di qualla famiglia di sottospazi); 2) se \( X\subset Y \), allora, dato un sottospazio \( M \) contenente \( Y \), questo conterrà anche \( X \), e quindi se \( x\in X \) sarà anche \( x\in M \), per ogni \( M \) contenente \( Y \); 3) esercizio.

Per provare che il sottospazio generato da \( U\cup W \) è esattamente la loro somma \( U + W \), nota che è per forza \( U + W\subset \langle U\cup W\rangle \), perché dato un vettore di \( U + W \), ancora, questo sta in ogni sottospazio contenente sia \( U \) che \( W \) (per la def. di sottospazio!); poi, hai banalmente \( U\cup W\subset U + W\) (ogni vettore di \( U \) si scrive come \( u + 0 \), ecc.). Riesci a terminare?