Esercizi sulla linearità e sui sottospazi vettoriali.

[anon1234]

Salve a tutti, ho i seguenti 2 problemi di algebra lineare:

Problema 1:
Siano u, v e w vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale e siano i = u+2v, j = 2u−v e k = u+v+w.
(a) Dimostrare che i vettori i, j e k sono linearmente indipendenti.
(b) Trovare numeri a, b, c tali che 2u − 3v − w = ai + bj + ck.

Problema 2:
Si considerino i vettori di R3

v1 =(1,0,-1); v2 = (1,1,1); u1 = (1,3,5); u2 = (0,-1,-2)
e siano V = Span(v1, v2), U = Span(u1, u2).
(a) Dimostrare che V = U (Consiglio: se u1, u2 ∈ V allora U ⊂ V ...)
(b) Stabilire per quali x, y, z ∈ R il vettore (x,y,z) è nel sottospazio di V

Dunque del primo problema per trovare il punto (a) ho impostato il seguente sistema omogeneo:
u+2v = i
2u - v = j
u + v + w = k
E ho verificato che fosse linearmente indipendente ponendo i=j=k=0. Poi ho lavorato alla gauss, i coefficienti vengono tutti 0 quindi dovrebbe essere linearmente indipendente. Tuttavia non sono sicuro di aver fatto bene.
Per quanto riguarda il punto b invece, non ho idea di come risolverlo e mi piacerebbe saperlo.

Nel secondo problema invece per risolvere il punto b l'unica cosa che mi viene in mente per dimostrare che (x,y,z) è sottospazio vettoriale di V è quella di verificare che sia chiuso rispetto alla somma e al prodotto ma non mi riesce. Per il punto a invece non ne ho proprio idea.
Una spiegazione di ognuno dei 4 punti mi aiuterebbe molto. Grazie

[Bokonon]

Ciao
Nel primo problema il sistema da risolvere è:
$ ( hat(u) \ \ hat(v) \ \ hat(w) ) ( ( 1 , 2 , 1 ),( 2 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ) )= ( hat(i) \ \ hat(j) \ \ hat(k) ) $
Dove i vettori sono le colonne delle matrici.

Non devi porre nulla uguale a zero ma bensì verificare che la matrice sia invertibile...e trovane l'inversa.

Ottenendo $ { ( u=1/5(i+v) ),( v=1/5(2i-j) ),( w=1/5(-3i-j+k) ):} $
Da cui ricavi la combinazione $2u-3v-w=-1/5i+6/5j-1/5k$

[anon1234]

Ciao
Nel primo problema il sistema da risolvere è:
$ ( hat(u) \ \ hat(v) \ \ hat(w) ) ( ( 1 , 2 , 1 ),( 2 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ) )= ( hat(i) \ \ hat(j) \ \ hat(k) ) $
Dove i vettori sono le colonne delle matrici.

Non devi porre nulla uguale a zero ma bensì verificare che la matrice sia invertibile...e trovane l'inversa.

Ottenendo $ { ( u=1/5(i+v) ),( v=1/5(2i-j) ),( w=1/5(-3i-j+k) ):} $
Da cui ricavi la combinazione $2u-3v-w=-1/5i+6/5j-1/5k$

ciao, innanzitutto grazie della risposta. Volevo solo dire che non sono ancora arrivato a studiare la teoria del determinante e/o della matrice inversa. Presumo quindi che debba esserci un modo più semplice per risolvere questi esercizi che non implichi tali argomenti, perchè mi sembra strano che ci siano degli esercizi su argomenti non ancora spiegati nella parte teorica.

[Bokonon]

Invertire è equivalente a risolvere il sistema che hai scritto e trovare u v e w in funzione di i j e k.

[anon1234]

Invertire è equivalente a risolvere il sistema che hai scritto e trovare u v e w in funzione di i j e k.

Ok grazie però presumo che questa cosa sia valida per risolvere il punto (a) del primo, non mi è chiaro il punto (b) invece.