Salva a tutti,
sono alle prese con il seguente esercizio:
Siano
$$v_1=\begin{pmatrix}\sqrt{2}\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix}0\\ 1 \\ -1\end{pmatrix}, a=\begin{pmatrix}1\\ 2 \\ -1\end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, c_t=\begin{pmatrix}1\\ 2t \\ 1\end{pmatrix}$$
vettori di $\mathbb{R^3}$, con $t\in\mathbb{R}$.
Si provi che i vettori $v_1, v_2, v_3$ sono linearmente indipendenti.
Si determini per quali valori di $t$ esiste una applicazione lineare $L_t:\mathbb{R^3}\rightarrow \mathbb{R^3}$ tale che
$$L_t(v_1)=a, L_t(v_2)=b, L_t(v_3)=c_t.$$
Ho proceduto a provare che i tre vettori sono linearmente indipendenti, ma poi mi sono immediatamente bloccato sul secondo. A mio parere, la risposta potrebbe essere per ogni $t\in\mathbb{R}$, ma comunque non saprei giustificarlo. E' da troppo tempo che non tocco Algebra Lineare purtroppo.
Qualcuno potrebbe darmi un suggerimento su come procedere? Gliene sarei infinitamente grato.