Applicazione lineare con un parametro

[jakojako]

Salva a tutti,
sono alle prese con il seguente esercizio:
Siano
$$v_1=\begin{pmatrix}\sqrt{2}\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix}0\\ 1 \\ -1\end{pmatrix}, a=\begin{pmatrix}1\\ 2 \\ -1\end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, c_t=\begin{pmatrix}1\\ 2t \\ 1\end{pmatrix}$$
vettori di $\mathbb{R^3}$, con $t\in\mathbb{R}$.
Si provi che i vettori $v_1, v_2, v_3$ sono linearmente indipendenti.
Si determini per quali valori di $t$ esiste una applicazione lineare $L_t:\mathbb{R^3}\rightarrow \mathbb{R^3}$ tale che
$$L_t(v_1)=a, L_t(v_2)=b, L_t(v_3)=c_t.$$
Ho proceduto a provare che i tre vettori sono linearmente indipendenti, ma poi mi sono immediatamente bloccato sul secondo. A mio parere, la risposta potrebbe essere per ogni $t\in\mathbb{R}$, ma comunque non saprei giustificarlo. E' da troppo tempo che non tocco Algebra Lineare purtroppo.
Qualcuno potrebbe darmi un suggerimento su come procedere? Gliene sarei infinitamente grato.

[LoreT314]

Boh si direi anche io per ogni t. D'altronde l'applicazione è determinata dalle immagini dei vettori di una base. Qui però lui ti fissa le immagini di due vettori che non sono sicuro una base. E non ci sono nemmeno richieste tipo l'iniettività. Quindi direi per ogni t.

[jakojako]

L'iniettività di $L_t$ è richiesta al punto successivo del problema. Tuttavia, dovrei elaborare una risposta formale al problema e persiste quindi la difficoltà nel giustificarla.

[LoreT314]

Potresti esibire una L
Sia $v in RR^3$ e siano $alpha,beta, gamma$ le sue coordinate rispetto alla base ${v_1,v_2,v_3}$
Poni $L(v) =alpha a+beta b+gamma c_t$ e hai la tua applicazione
Lascio a te verificare che è lineare per ogni t.