Geodetiche e parametro affine

Messaggioda Dal » 17/03/2020, 20:10

Ciao a tutti, mi servirebbe aiuto con un esercizio di geometria diffenziale, che però arriva da un corso di relatività generale (quindi non ho conoscenze troppo approfondite degli aspetti matematici). L'esercizio è riportato nell'immagine:

Immagine

In particolare non riesco ad arrivare alla formula 10, ho provato ad usare la seguente forma per la derivata covariante $ grad_(bar(u))bar(u)=bar(u)^k(e_k(bar(u)^i)+ (Gamma^i)_(k,j)bar(u)_j)e_i $ , ma mi risulta solamente il primo termine della formula 10 dell'immagine, cioè, sfruttando $ bar(u)=u/(d/dt(tau)) $ ottengo
$ grad_(bar(u))bar(u)=u^k/(d/dt(tau))(e_k(u^i/(d/dt(tau)))+ (Gamma^i)_(k,j)u_j/(d/dt(tau)))e_i
=u^k/(d/dt(tau))(e_k/(d/dt(tau))(u^i)+ (Gamma^i)_(k,j)u_j/(d/dt(tau)))e_i=
(d/dt(tau))^(-2)(u^k(e_k(u^i)+ (Gamma^i)_(k,j)u_j)e_i)=(d/dt(tau))^(-2)grad_(u)u=(d/dt(tau))^(-1)bar(u) $ .
Probabilmente l'errore sta nell'estrarre $ d/dt(tau) $ da $ e_k(...) $ senza derivare nulla, però non capisco proprio perchè $ e_k= (partial)/(partial x^k) $ dovrebbe agire in qualche modo su $ d/dt(tau) $, dato che questa è solamente una funzione cambio variabile da R in R. (Scusate per le parentesi nei simboli di christoffel, non riuscivo a scriverli in altro modo)

In realtà ho trovato una soluzione svolta in modo diverso ma che ancora non mi convince, che riporto nell'immagine:

Immagine

Soprattutto non capisco bene perchè usa la proprietà della definizione della derivata covariante $ grad(fv)=dfox v+fgradv $, dato che nel nostro caso$ f= d/dt(tau)$ non è una funzione definita sulla varietà a valori in R ma solo una funzione da R in R. Nemmeno capisco perchè dovrebbe essere $ u=partial/(partialt) $ dato che u è il vettore tangente alla curva ma non è detto che sia pari ad un elemento di base dello spazio tangente, inoltre mi verrebbe da dire che t è un paramentro ma non necessariamente è il tempo, infatti nemmeno viene specificata quale sia la varietà su cui stiamo lavorando...
Dal
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Re: Geodetiche e parametro affine

Messaggioda Dal » 18/03/2020, 18:08

Forse è più azzeccato provare a postarlo nella sezione di fisica?
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Re: Geodetiche e parametro affine

Messaggioda dissonance » 20/03/2020, 23:23

Forse si, magari trovi qualcuno che si intende di relatività che ti risponde. Però, qua vedo che i dubbi sono di natura teorica, di solito sui libri di fisica si tira via proprio su queste cose che ti stanno confondendo. Per esempio, è vero che il vettore tangente è un campo vettoriale definito solo lungo la curva, e non globalmente. Quindi che cosa significa farne la derivata covariante? Significa che bisogna considerarne una estensione a tutta la varietà, e poi dimostrare che il risultato della derivazione è lo stesso qualunque sia l'estensione che è stata considerata.
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Re: Geodetiche e parametro affine

Messaggioda Dal » 21/03/2020, 12:14

Ok grazie mille, infatti ora sto cercando di capire come fare l'estensione... ma sinceramente non mi viene nessuna idea su come farla. Forse poteri provare a trovare una famiglia di curve che ricopre la varietà che si riduca a C(t) quando passa per un punto della curva. Ma questa estensione deve riguardare tutta la varietà o va bene anche un intorno dei punti sulla curva?
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Re: Geodetiche e parametro affine

Messaggioda dissonance » 21/03/2020, 14:58

In effetti hai messo il dito su una cosa a cui ricordo di avere già pensato in passato, ma chiaramente ho dimenticato i dettagli. Ho appena riguardato il mio libro preferito su queste cose, il Wald, e a pagina 40 parla proprio di questo argomento, dicendo che una "geodetica" è una curva \(\gamma\) il cui vettore tangente \(T^a\) verifica l'equazione
\[
T^a\nabla_a T^b =0.\]
Senza però entrare nel dettaglio di perché questa equazione abbia senso, dato che \(T^a\) è un campo vettoriale definito solo lungo la curva \(\gamma\) e non globalmente.

In realtà questa cosa è spiegata, implicitamente, quando si parla di trasporto parallelo, a pagina 34. Dato un campo vettoriale \(v^a\) lungo la stessa curva \(\gamma\) di prima, si dice che esso è trasportato parallelamente se si verifica l'equazione \(T^a\nabla_a v^b=0\). Siamo quindi nella stessa situazione di prima; \(v^a\) è definito solo lungo la curva ma si parla di derivata covariante.

La soluzione è che l'operatore \(T^a\nabla_a\) dipende, in realtà, solo dalla restrizione del suo argomento a \(\gamma\). Ovvero, se \(v^a\) e \(w^a\) sono due campi vettoriali tali che \(v^a(\gamma(t))=w^a(\gamma(t))\) per ogni \(t\), allora
\[
T^a\nabla_a v^b=T^a\nabla_a w^b.\]
Questo è spiegato, per esempio, qui, ma è una spiegazione un po' troppo complicata, possiamo cercarne una più semplice.
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Re: Geodetiche e parametro affine

Messaggioda dissonance » 21/03/2020, 19:33

Dal ha scritto:Ma questa estensione deve riguardare tutta la varietà o va bene anche un intorno dei punti sulla curva?
Va bene anche solo un intorno. Tanto qui stiamo facendo un discorso locale, di derivazione.
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Re: Geodetiche e parametro affine

Messaggioda Dal » 22/03/2020, 12:36

Comunque su Differential geometry di Helgason ho trovato che quando spiega il trasporto parallelo fa vedere esplicitamente che, dopo aver applicato la derivata covariante al campo in questione, ottenendo così un altro campo vettoriale, ciò che mette pari a zero è solo il valore del campo ottenuto sulla curva, cioè $ (grad_bar(u) bar (u))_(C_((t)))=0 $ . Infatti, se così fosse anche per l'esercizio che ho riportato, non avrei difficoltà a trovare la formula 10. Credo proprio si debba svolgere in questo modo
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Re: Geodetiche e parametro affine

Messaggioda dissonance » 22/03/2020, 16:56

Si, certamente, ti interessa SOLO ciò che succede sulla curva. Mi fa piacere che almeno siamo riusciti a trovare le parole chiave giuste per cercare sui libri. Ripeto, hai ragione, hai trovato un dettaglio tecnico fastidioso e su cui spesso si tira via, ma se uno vuole fare le cose per bene deve pensare pure a questi dettagli.
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Re: Geodetiche e parametro affine

Messaggioda Dal » 22/03/2020, 18:38

Grazie mille per l'aiuto, spesso nei corsi di fisica si evita di parlare di questi dettagli e non avendo basi solide di geometria differenziale nemmeno ce ne rendiamo conto che si sta omettendo qualcosa... a volte mi chiedo se ho fatto la scelta giusta a scegliere fisica sopra matematica.
Dal
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Re: Geodetiche e parametro affine

Messaggioda dissonance » 23/03/2020, 00:19

Questo vecchio messaggio di Fioravante Patrone parla proprio di gente come te:

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 1#p8391381
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