Ciao a tutti, mi servirebbe aiuto con un esercizio di geometria diffenziale, che però arriva da un corso di relatività generale (quindi non ho conoscenze troppo approfondite degli aspetti matematici). L'esercizio è riportato nell'immagine:
In particolare non riesco ad arrivare alla formula 10, ho provato ad usare la seguente forma per la derivata covariante $ grad_(bar(u))bar(u)=bar(u)^k(e_k(bar(u)^i)+ (Gamma^i)_(k,j)bar(u)_j)e_i $ , ma mi risulta solamente il primo termine della formula 10 dell'immagine, cioè, sfruttando $ bar(u)=u/(d/dt(tau)) $ ottengo
$ grad_(bar(u))bar(u)=u^k/(d/dt(tau))(e_k(u^i/(d/dt(tau)))+ (Gamma^i)_(k,j)u_j/(d/dt(tau)))e_i
=u^k/(d/dt(tau))(e_k/(d/dt(tau))(u^i)+ (Gamma^i)_(k,j)u_j/(d/dt(tau)))e_i=
(d/dt(tau))^(-2)(u^k(e_k(u^i)+ (Gamma^i)_(k,j)u_j)e_i)=(d/dt(tau))^(-2)grad_(u)u=(d/dt(tau))^(-1)bar(u) $ .
Probabilmente l'errore sta nell'estrarre $ d/dt(tau) $ da $ e_k(...) $ senza derivare nulla, però non capisco proprio perchè $ e_k= (partial)/(partial x^k) $ dovrebbe agire in qualche modo su $ d/dt(tau) $, dato che questa è solamente una funzione cambio variabile da R in R. (Scusate per le parentesi nei simboli di christoffel, non riuscivo a scriverli in altro modo)
In realtà ho trovato una soluzione svolta in modo diverso ma che ancora non mi convince, che riporto nell'immagine:
Soprattutto non capisco bene perchè usa la proprietà della definizione della derivata covariante $ grad(fv)=dfox v+fgradv $, dato che nel nostro caso$ f= d/dt(tau)$ non è una funzione definita sulla varietà a valori in R ma solo una funzione da R in R. Nemmeno capisco perchè dovrebbe essere $ u=partial/(partialt) $ dato che u è il vettore tangente alla curva ma non è detto che sia pari ad un elemento di base dello spazio tangente, inoltre mi verrebbe da dire che t è un paramentro ma non necessariamente è il tempo, infatti nemmeno viene specificata quale sia la varietà su cui stiamo lavorando...