In $RR^2$ considero i seguenti sottospazi vettoriali:
banali : $RR^2$ e ${O}$
non banali : $U={(x,0)in RR^2: x in RR}$ , $W={(0,y)in RR^2:y in RR}$ e $RR_v={cv in RR^2:c in RR}$
Risulta che $RR^2 cap {O}= {O} $ cioè la somma è diretta, invece per gli altri procedo cosi per verificare che la somma è diretta:
Siano $U={(x,0)in RR^2: x in RR}$ , $W={(0,y)in RR^2:y in RR}$ sottospazi di $RR^2$ chiediamoci se la loro somma è diretta il che equivale a dire $U cap W={O} $. In tal caso considero $alpha=(a,b) in RR^2 $ con $a,b in RR$ risulta $alpha in U cap W <=> alpha in U, alpha in W $ allora:
$alpha in U <=> alpha=(a,0)$ , $alpha in W <=> alpha=(0,b)$
per definizione di intersezione deve risultare che $(a,0)=(0,b)$ per cui si ha $(a-0,0-b)=(0,0)$, quest'ultima è verificata per $a=0$ e $b=0$. Ne segue che le componenti del vettore $alpha$ sono tutte nulle ossia $alpha=(0,0)$. Dall'arbitrarietà di $alpha$ si ha la tesi, cioè che la somma è diretta.
Adesso chiediamoci se la somma risulta diretta di $RR_v$ con $U$ (si può procedere in modo analogo con $W$) quindi equivale a chiedersi se $RR_v cap U ={O} $. In tal caso considero $beta=(a,b) in RR^2 $ con $a,b in RR$ risulta $beta in RR_v cap W <=> beta in U, beta in W $ allora:
$beta in RR_v <=> beta=(ca,cb)$ , $beta in W <=> beta=(a,0)$
per definizione di intersezione deve risultare $(ca,cb)=(a,0)$ quindi $(ca-a,cb)=(0,0)$, questa è verificata in due distinti modi
1) $a=0$ e $b=0$
2) $c=1$ e $b=0$ e $ a in RR$
Ne segue che non viene soddisfatta la definizione di somma diretta, per cui la somma di $RR_v$ con $W$ non è diretta.
Ai posteri l'ardua sentenza.
