Blocchi di matrici simmetriche e definite positive

Messaggioda JoJo_90 » 21/03/2020, 18:13

Ciao a tutti. Torno a fare una capatina sul forum dopo parecchio tempo per chiedere una consulenza su una questione sicuramente banale.

Problema
Supponiamo di avere una matrice $A\in\mathbb{R]^{n\times n}$ e questa sia simmetrica e definita positiva. La domanda è questa: se si opera un partizionamento di $A$, i blocchi simmetrici che si possono ottenere, sono a loro volta matrici definite positive, o almeno invertibili?

Purtroppo le mie (scarse) competenze di algebra lineare risalenti all'università non sono sufficienti a rispondere. Ho provato a cercare sul forum e su internet, ma non ho trovato nulla di specifico sulla questione, quindi mi rimetto al vostro aiuto. Grazie anticipatamente.

EDIT. Mi sono accorto di aver formulato male il problema, dimenticandomi alcune precisazioni, che ho aggiunto.
Ultima modifica di JoJo_90 il 21/03/2020, 20:25, modificato 3 volte in totale.
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Re: Blocchi di matrici definite positive

Messaggioda JoJo_90 » 21/03/2020, 20:15

Grazie Sergio. Ho modificato il primo messaggio, riformulando il problema in modo più corretto.
Sergio ha scritto:Intendi tutti i blocchi?

No, non tutti i blocchi. Cerco di essere più specifico. La matrice con cui ho a che fare è per sua natura simmetrica e definita positiva. Un procedimento a cui è necessario sottoporla, permette di ridurre le dimensioni della matrice in questione, una volta che in essa siano stati individuati opportuni blocchi.

Faccio un esempio: matrice $\mathbf{K}$ di dimensione $ 6\times 6$. Questa risulta partizionabile in quattro blocchi:

$\mathbf{K}= ( ( \mathbf{K}_{11}^{[2\times 2]} , \mathbf{K}_{12}^{[2\times 4]} ),( \mathbf{K}_{21}^{[4\times 2]} , \mathbf{K}_{22}^{[4\times 4]} ) ) $

Quello che volevo sapere è se si può affermare che il blocco (simmetrico) $\mathbf{K}_{22}^{[4\times 4]}$ è definito positivo o almeno invertibile. Se ci sono casi in cui questo può non accadere, vedo un problema.

P.S.
Sergio ha scritto:[...] prova a partizionare una matrice identità $ I_4 $ in quattro matrici $ 2\times 2 $.

Come dicevo non mi interessano tutti i blocchi; volendo comunque rispondere, il blocco nullo non è definito positivo (secondo il criterio di Cartesio) se non erro.
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Re: Blocchi di matrici simmetriche e definite positive

Messaggioda JoJo_90 » 22/03/2020, 19:12

Riguardo la definitezza positiva di $\mathbf{K}_{22}$, ho appurato che effettivamente non serve (se vuoi ragionarci per sfizio tuo, fai pure); ciò che è indispensabile invece, è che sia invertibile. Eh no, in generale né $\mathbf{K}_{12}$ né $\mathbf{K]_{21}$ sono matrici nulle, tuttavia si ha che $\mathbf{K}_{21}=\mathbf{K}_{12}^T$ (ma dovrebbe essere conseguenza della simmetria di $\mathbf[K}$).
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Re: Blocchi di matrici simmetriche e definite positive

Messaggioda dissonance » 27/03/2020, 01:05

Si, i blocchi $K_{11}$ e $K_{22}$ sono definiti positivi. Dimostrazione: consideriamo la forma quadratica \(Q(x)=x^TK_{22}x\), per $x\in \mathbb C^k$, dove $k$ è la dimensione di $K_{22}$. Il blocco $K_{22}$ è definito positivo se e solo se $Q$ lo è. Ora, $Q$ è definita positiva perché
\[
Q(x)=\begin{bmatrix} 0, x^T\end{bmatrix} \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} \\ K_{12} & K_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ x\end{bmatrix}.\]
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Re: Blocchi di matrici simmetriche e definite positive

Messaggioda JoJo_90 » 27/03/2020, 08:54

dissonance, che dire, grazie mille. E grazie anche a Sergio.

Visto il modo in cui ci si poteva arrivare, comincio a pensare che forse era una cosa auto-evidente o comunque banale e che mi sono posto un falso problema (sarà questo il motivo per cui in tutti i testi che ho consultato, l'esistenza di $K_{22}^{-1}$ è stata data per scontata? Forse è così, ma io volevo esserne certo).
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Re: Blocchi di matrici simmetriche e definite positive

Messaggioda dissonance » 27/03/2020, 11:01

No, non è una cosa "banale". Possiamo dire che è facile da dimostrare, magari. Ma dietro c'è un concetto assolutamente NON banale e molto importante: si posso ottenere proprietà di una matrice studiando la forma quadratica ad essa associata. In questo caso, ad esempio, vediamo subito che i blocchi diagonali sono definiti positivi e quindi invertibili, senza bisogno di fare determinanti.
Ultima modifica di dissonance il 27/03/2020, 12:49, modificato 1 volta in totale.
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Re: Blocchi di matrici simmetriche e definite positive

Messaggioda JoJo_90 » 27/03/2020, 11:47

Bene dissonance. Grazie ancora delle delucidazioni e del prezioso aiuto.
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