Superfici k-dimensionali in $\mathbb{R}^n$: un primo esercizio
Inviato: 23/03/2020, 15:43
Sto imparando adesso cosa significhi rigorosamente la parola 'superficie k-dimesionale'.
La definizione che sto usando è questa:
un insieme \(\displaystyle S\subset\mathbb{R}^n \) è detto superficie k-dimensionale in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) se per ogni punto \(\displaystyle x_0\in S \) esiste un suo intorno \(\displaystyle U(x_0) \) e un diffeomorfismo \(\displaystyle \varphi \) (cioé un cambio di coordinate da \(\displaystyle (x_1,...,x_n) \) a \(\displaystyle (t_1,...,t_n) \)) tale che nelle nuove coordinate l'insieme \(\displaystyle U(x_0)\cap S \) si possa definire come \(\displaystyle t_{k+1}=...=t_n=0 \).
Vorrei cercare di capire se l'insieme \(\displaystyle S=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2|x_1^2-x_2^2=0\} \) è una superficie 1-dimensionale in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \).
Mi sembra di capire che la risposta sia no, a causa del fatto che \(\displaystyle (0,0)\in S \), ma non riesco a dimostrarlo.
Se suppongo per assurdo che S sia una superficie 1-dimensionale in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \), allora sto dicendo che sicuramente esiste un intorno dell'origine \(\displaystyle U((0,0)) \) e un diffeomorfismo \(\displaystyle \varphi \) di esso, tale che:
\(\displaystyle \varphi(x_1,x_2)=\left[ \begin{matrix} \varphi_1(x_1,x_2) \\ \varphi_2(x_1,x_2) \end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} \varphi_1(x_1,x_2) \\ 0 \end{matrix}\right] \quad\forall (x_1,x_2)\in U((0,0))\cap S \)
tuttavia ancora non riesco a vedere l'assurdo.
Qualcuno può aiutarmi per favore?
La definizione che sto usando è questa:
un insieme \(\displaystyle S\subset\mathbb{R}^n \) è detto superficie k-dimensionale in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) se per ogni punto \(\displaystyle x_0\in S \) esiste un suo intorno \(\displaystyle U(x_0) \) e un diffeomorfismo \(\displaystyle \varphi \) (cioé un cambio di coordinate da \(\displaystyle (x_1,...,x_n) \) a \(\displaystyle (t_1,...,t_n) \)) tale che nelle nuove coordinate l'insieme \(\displaystyle U(x_0)\cap S \) si possa definire come \(\displaystyle t_{k+1}=...=t_n=0 \).
Vorrei cercare di capire se l'insieme \(\displaystyle S=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2|x_1^2-x_2^2=0\} \) è una superficie 1-dimensionale in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \).
Mi sembra di capire che la risposta sia no, a causa del fatto che \(\displaystyle (0,0)\in S \), ma non riesco a dimostrarlo.
Se suppongo per assurdo che S sia una superficie 1-dimensionale in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \), allora sto dicendo che sicuramente esiste un intorno dell'origine \(\displaystyle U((0,0)) \) e un diffeomorfismo \(\displaystyle \varphi \) di esso, tale che:
\(\displaystyle \varphi(x_1,x_2)=\left[ \begin{matrix} \varphi_1(x_1,x_2) \\ \varphi_2(x_1,x_2) \end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} \varphi_1(x_1,x_2) \\ 0 \end{matrix}\right] \quad\forall (x_1,x_2)\in U((0,0))\cap S \)
tuttavia ancora non riesco a vedere l'assurdo.
Qualcuno può aiutarmi per favore?