Superfici k-dimensionali in $\mathbb{R}^n$: un primo esercizio

Messaggioda Silent » 23/03/2020, 15:43

Sto imparando adesso cosa significhi rigorosamente la parola 'superficie k-dimesionale'.
La definizione che sto usando è questa:

un insieme \(\displaystyle S\subset\mathbb{R}^n \) è detto superficie k-dimensionale in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) se per ogni punto \(\displaystyle x_0\in S \) esiste un suo intorno \(\displaystyle U(x_0) \) e un diffeomorfismo \(\displaystyle \varphi \) (cioé un cambio di coordinate da \(\displaystyle (x_1,...,x_n) \) a \(\displaystyle (t_1,...,t_n) \)) tale che nelle nuove coordinate l'insieme \(\displaystyle U(x_0)\cap S \) si possa definire come \(\displaystyle t_{k+1}=...=t_n=0 \).

Vorrei cercare di capire se l'insieme \(\displaystyle S=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2|x_1^2-x_2^2=0\} \) è una superficie 1-dimensionale in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \).
Mi sembra di capire che la risposta sia no, a causa del fatto che \(\displaystyle (0,0)\in S \), ma non riesco a dimostrarlo.

Se suppongo per assurdo che S sia una superficie 1-dimensionale in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \), allora sto dicendo che sicuramente esiste un intorno dell'origine \(\displaystyle U((0,0)) \) e un diffeomorfismo \(\displaystyle \varphi \) di esso, tale che:

\(\displaystyle \varphi(x_1,x_2)=\left[ \begin{matrix} \varphi_1(x_1,x_2) \\ \varphi_2(x_1,x_2) \end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} \varphi_1(x_1,x_2) \\ 0 \end{matrix}\right] \quad\forall (x_1,x_2)\in U((0,0))\cap S \)

tuttavia ancora non riesco a vedere l'assurdo.

Qualcuno può aiutarmi per favore?
Ultima modifica di Silent il 25/03/2020, 09:14, modificato 1 volta in totale.
Silent
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Messaggioda j18eos » 24/03/2020, 15:56

...praticamente, in generale \(\displaystyle S\) dev'essere localmente omeomorfa ad \(\displaystyle\mathbb{R}^k\): ti torna?

Quindi, il dato insieme \(\displaystyle S\) soddisfa o no questa condizione?
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Re: Superfici k-dimensionali in $\mathbb{R}^n$: un primo esercizio

Messaggioda Silent » 24/03/2020, 20:40

Con omeomorfa intendi che ci deve essere un diffeomorfismo almeno di classe $C^0$?
In tal caso si, mi torna, ma non so rispondere alla tua ultima domanda. Anzi, mi sembra che stavo tentando, con la dimostrazione per assurdo, proprio di rispondere a quella domanda. :(
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Messaggioda j18eos » 24/03/2020, 21:12

Sì, ti torna cosa?
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Re:

Messaggioda Silent » 24/03/2020, 21:34

Questo mi torna:
j18eos ha scritto:...praticamente, in generale \(\displaystyle S\) dev'essere localmente omeomorfa ad \(\displaystyle\mathbb{R}^k\): ti torna?
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Messaggioda j18eos » 24/03/2020, 22:20

Ecco: questo è vero per le "superfici \(\displaystyle k\)-dimensionali";

ma per il dato insieme \(\displaystyle S\) questa proprietà è vera?
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Re: Superfici k-dimensionali in $\mathbb{R}^n$: un primo esercizio

Messaggioda Silent » 24/03/2020, 23:26

E non so rispondere purtroppo.
Tentavo di trovare una risposta dicendo: "supponiamo per assurdo che la soddisfi, allora..."

Silent ha scritto:Se suppongo per assurdo che S sia una superficie 1-dimensionale in \( \displaystyle \mathbb{R}^2 \), allora sto dicendo che sicuramente esiste un intorno dell'origine \( \displaystyle U((0,0)) \) e un diffeomorfismo \( \displaystyle \varphi \) di esso, tale che:

\( \displaystyle \varphi(x_1,x_2)=\left[ \begin{matrix} \varphi_1(x_1,x_2) \\ \varphi_2(x_1,x_2) \end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} \varphi_1(x_1,x_2) \\ 0 \end{matrix}\right] \quad\forall (x_1,x_2)\in S \)

tuttavia ancora non riesco a vedere l'assurdo.


Sicuramente se tolgo l'origine, riesco a trovare 4 diffeomorfismi locali diversi, uno per ogni "ramo", che mi consentono di affermare che S è una superficie 1-dimensionale.
Tuttavia, con l'origine inclusa, non riesco a trovare un assurdo per poter dire che ciò non è più possibile.
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Messaggioda j18eos » 24/03/2020, 23:42

Esatto;

se \(\displaystyle S\) fosse (lo scrivo in inglese) una \(\displaystyle1\)-manifold questo non potrebbe accadere... utilizzando la pura topologia: perché?
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Re: Superfici k-dimensionali in $\mathbb{R}^n$: un primo esercizio

Messaggioda Silent » 25/03/2020, 10:06

Niente, non ci arrivo, comunque riporto un ragionamento aggiuntivo che forse sono riuscito a tirare fuori.
Dicevamo, se per assurdo esiste una trasformazione di coordinate \(\displaystyle (x_1,x_2)\mapsto (\phi_1,\phi_2) \) che in un intorno dell'origine \(\displaystyle (x_1=0,x_2=0) \) riesca a descrivere l'insieme S così:

\(\displaystyle S:\left\{\begin{matrix} \phi_1=\phi_1(x_1,x_2)\\ \phi_2=\phi_2(x_1,x_2)=0 \end{matrix}\right. \)

vuol dire che, per definizione di S:

\(\displaystyle \phi_2(x,x)=\phi_2(x,-x)=\phi_2(-x,x)=\phi_2(-x,-x)=0 \)

per ogni \(\displaystyle x\in\mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle (\pm x, \pm x)\in S\cap U((x_1=0,x_2=0)) \) e quindi, affinché l'intera trasformazione \(\displaystyle (x_1,x_2)\mapsto (\phi_1,\phi_2) \) sia biunivoca, deve succedere che \(\displaystyle \phi_1(\pm x,\pm x) \) fornisca sempre 4 valori diversi.

Da qui, ancora non riesco ad arrivare a un assurdo.
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Messaggioda j18eos » 25/03/2020, 11:00

A parte che non capisco il motivo per cui \(\displaystyle\phi_2\equiv0\)...

Se l'insieme \(\displaystyle S\) fosse localmente omeomorfo ad \(\displaystyle\mathbb{R}\) intorno a \(\displaystyle(0,0)\) significa che, togliendo un punto da \(\displaystyle\mathbb{R}\), quest'ultimo si dovrebbe spezzarsi in 4 pezzi. Topologicamente questo è assurdo: perché?
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