Matematicamente.it

Inviato: **25/03/2020, 11:17**

j18eos ha scritto:A parte che non capisco il motivo per cui $ϕ_2≡0$...

Per definizione di 1-manifold:

Silent ha scritto:un insieme $ \displaystyle S\subset\mathbb{R}^n $ è detto superficie k-dimensionale in $ \displaystyle \mathbb{R}^n $ se per ogni punto $ \displaystyle x_0\in S $ esiste un suo intorno $ \displaystyle U(x_0) $ e un diffeomorfismo $ \displaystyle \varphi $ (cioé un cambio di coordinate da $ \displaystyle (x_1,...,x_n) $ a $ \displaystyle (t_1,...,t_n) $) tale che nelle nuove coordinate l'insieme $ \displaystyle U(x_0)\cap S $ si possa definire come $ \displaystyle t_{k+1}=...=t_n=0 $.

j18eos ha scritto:quest'ultimo si dovrebbe spezzarsi in 4 pezzi. Topologicamente questo è assurdo: perché?

Non lo so, sono sincero, non lo so.
Quello che posso dire è che se tolgo l'origine, l'intera $\displaystyle S\setminus\{0\} $ (cioè l'insieme dei 4 rami) è una 1-manifold, perché soddisfa la definizione.

Inviato: **25/03/2020, 12:21**

Scusa: quali sono le nozioni di topologia che conosci? :?:

P.S.: ho capìto perché $\displaystyle\phi_2\equiv0$! :smt023

Inviato: **25/03/2020, 14:09**

Immagino che la risposta a questa domanda:

j18eos ha scritto:Scusa: quali sono le nozioni di topologia che conosci?

sia la definizione di k-manifold che ho scritto sopra, la definizione di diffeomorfismo e quella di omeomorfismo. Comunque forse ti può aiutare a ricevere una risposta sapere che sto studiando queste cose nel capitolo introduttivo all'analisi vincolata di massimi e minimi secondo Lagrange.

Inviato: **25/03/2020, 18:18**

Ora è tutto più chiaro...

In pratica, volevo farti notare che un punto taglia $\displaystyle\mathbb{R}$ in due "pezzi", mentre $\displaystyle S\setminus\{(0,0)\}$ è tagliato in quattro "pezzi"; per cui non possono essere omeomorfi e quindi non può essere una $\displaystyle1$-manifold.

Altrimenti, dovresti dimostrare brutalmente che $\displaystyle rank J_{(\phi_1,\phi_2)}(0,0)=0$, ovvero non può invertire $\displaystyle\phi_1$ in $\displaystyle(0,0)$; ma questo lo trovo più complicato...

Se non sono stato chiaro: domanda pure! :wink:

Inviato: **25/03/2020, 18:20**

Non riesco a formalizzare questa idea, mi puoi dare una spintina per favore?

Inviato: **25/03/2020, 18:21**

Silent ha scritto:Niente, non ci arrivo, comunque riporto un ragionamento aggiuntivo che forse sono riuscito a tirare fuori.
Dicevamo, se per assurdo esiste una trasformazione di coordinate $\displaystyle (x_1,x_2)\mapsto (\phi_1,\phi_2) $ che in un intorno dell'origine $\displaystyle (x_1=0,x_2=0) $ riesca a descrivere l'insieme S così:

$\displaystyle S:\left\{\begin{matrix} \phi_1=\phi_1(x_1,x_2)\\ \phi_2=\phi_2(x_1,x_2)=0 \end{matrix}\right. $

vuol dire che, per definizione di S:

$\displaystyle \phi_2(x,x)=\phi_2(x,-x)=\phi_2(-x,x)=\phi_2(-x,-x)=0 $

per ogni $\displaystyle x\in\mathbb{R} $ tale che $\displaystyle (\pm x, \pm x)\in S\cap U((x_1=0,x_2=0)) $ e quindi, affinché l'intera trasformazione $\displaystyle (x_1,x_2)\mapsto (\phi_1,\phi_2) $ sia biunivoca, deve succedere che $\displaystyle \phi_1(\pm x,\pm x) $ fornisca sempre 4 valori diversi.

Da qui, ancora non riesco ad arrivare a un assurdo.

Quindi mi pare di capire che il ragionamento che ho riportato in questo messaggio non porta da nessuna parte, me lo confermi?

Inviato: **25/03/2020, 18:27**

Con $\displaystyle J_{(\phi_1,\phi_2)}(0,0)$ intendo la matrice jacobiana della parametrizzazione da te scelta.

Inviato: **25/03/2020, 19:06**

j18eos ha scritto:
Altrimenti, dovresti dimostrare brutalmente che $\displaystyle rank J_{(\phi_1,\phi_2)}(0,0)=0$, ovvero non può invertire $\displaystyle\phi_1$ in $\displaystyle(0,0)$; ma questo lo trovo più complicato...

Se non sono stato chiaro: domanda pure!

Probabilmente ora dico una cosa stupida, ma per il momento mi pare ragionevole.
Il teorema della funzione inversa, che immagino sia quello a cui stai facendo riferimento nella frase che ho quotato, non vale solo in un verso? ($\displaystyle \implies $ ?)
Se ho rango massimo nella Jacobiana, posso invertire localmente la funzione. Se posso invertire localmente, non è detto che abbia rango massimo.

Per convincermi di questa cosa ho pensato a $\displaystyle f(x)=x^3 $ in un intorno di $\displaystyle x=0 $.

Quindi anche dimostrando che $\displaystyle rank J_{(\phi_1,\phi_2)}(0,0)=0$ non potrei comunque concludere niente, o mi sbaglio?

Inviato: **25/03/2020, 22:18**

In effetti hai ragione: si ha solo una condizione sufficiente ma non necessaria...

Prova a ragionare col cambio di coordinate:
\[
\begin{cases}
x_1=y_1+y_2\\
x_2=y_1-y_2
\end{cases}
\]
dovresti concludere sùbito. :smt023

Oppure sbaglio? :?:

Inviato: **25/03/2020, 23:09**

Ma non è biunivoca, o mi sta sfuggendo qualcosa di profondo?

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Superfici k-dimensionali in $\mathbb{R}^n$: un primo esercizio

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