Dubbio base di Jordan

[fabianafragnelli]

Salve ragazzi!
Data la matrice $4 xx 4$:

$A= ((2, -1, 1, 0), (0, 2, 0, 1), (0, 0, 3, 1), (0, 0, 0, 3))$

riesco a determinare la matrice di Jordan ma non riesco a capire come trovare la base di jordan: quando devo determinare le basi degli autospazi generalizzati, non ho capito quando devo prendere vettori della base canonica e quando invece cercare una base dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato alla matrice alla matrice in questione.

vi sarei grata se qualcuno fosse disposto a spiegarlo in modo semplice, magari con un procedimento.

io sono arrivata alla matrice di jordan:

$((2, 2, 0, 0), (1, 2, 0, 0), (0, 0, 3, 0), (0, 0, 1, 3))$

come vado avanti?

[gugo82]

Ma questa matrice non è $4 xx 4$...

[gugo82]

Ok, grazie per aver corretto il testo.

Ma comunque:

$((2, 2, 0, 0), (1, 2, 0, 0), (0, 0, 3, 0), (0, 0, 1, 3))$

non mi sembra affatto una forma di Jordan.

[fabianafragnelli]

in effetti, ho rifatto i calcoli, c'è un 2 di troppo.
arrivo alla matrice:

$((2, 0, 0, 0), (1, 2, 0, 0), (0, 0, 3, 0), (0, 0, 1, 3))$

ora è giusta? sapresti dirmi come andare avanti con un procedimento?

[Bokonon]

Ciao Fabiana
Di solito si lavora per colonne quindi gli "uni" stanno sopra la diagonale.
La matrice iniziale è una matrice triangolare superiore, quindi gli autovalori stanno già belli in mostra sulla diagonale.
Quindi ci sono due coppie di radici coincidenti $lambda_1=lambda_2=2$ e$lambda_3=lambda_4=3$
Scoprirai che per entrambi i valori la molteplicità geometrica è pari a 1, quindi la matrice non è diagonalizzabile. Pertanto ricaverai un solo autovettore dalla soluzione dei due sistemi omogenei $A-lambdaI=0$

Usali per risolvere i rispettivi sistemi non omogenei $A-2I=<1,0,0,0>$ e $A-3I=<1,0,1,0>$ e ricaverai due autovettori generalizzati ottenendo la matrice:

$S = ((1 , 0 , 1 , -2), (0 , -1 , 0 , 1), (0 , 0 , 1 , 0), (0 , 0 , 0 , 1))$

La prima colonna è l'autovettore associato a 2 e la seconda colonna l'autovettore generalizzato al medesimo autovalore. Analogo per le rimanenti due colonne ma rispetto all'autovalore 3.

La forma canonica di Jordan $J$ invece è quella che hai scritto ma con gli "uni" sopra la diagonale.

Se farai $AJA^(-1)$ vedrai che ti verrà fuori la matrice iniziale.

Buon lavoro