Esercizio spazio polinomi

Messaggioda lackyluk » 24/03/2020, 19:55

Buongiorno.

Ho questo esercizio, che ad una prima analisi mi pareva banale, ma poi mi sono perso, quasi subito.

Esercizio:
a) Si stabilisca se $ W = {(r+s)x^3 + (r+t)x^2+(s-t)x+ (r+t)| r,s,t in R}sube R3[x] $ è un sottospazio vettoriale di R3[x] e in caso affermativo se ne determini una base B.

b) Si completi la base B trovata al punto precedente ad una base di W.


Stabilire se sia un sottospazio segue le regole di chiusura per somma e prodotto e non mi sembrano esserci problemi. E' centrato per la terna (-t, t, t).
W sembrerebbe un sottospazio.

A questo punto inizia la confusione. Ho effettuato un tentativo di svolgimento solo però per rendermi conto che era totalmente sbagliato anche se, come detto, di primo acchito l'esercizio mi sembrava addirittura banale.

Qualcuno potrebbe aiutarmi.
Grazie
lackyluk
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Messaggioda j18eos » 24/03/2020, 23:52

Se permetti, ti consiglio la notazione \(\displaystyle\mathbb{R}[x]_{\leq3}\) oppure \(\displaystyle\mathbb{R}[x]_3\)... altrimenti alcune persone (tra cui non io) si arrabbiano. :wink:

Scritto ciò: hai dimostrato che \(\displaystyle W\) è un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle\mathbb{R}[x]_{\leq3}\), oppure no?

Cosa c'entra la terna \(\displaystyle(-t,t,t)\) con l'esercizio proposto?
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Re: Esercizio spazio polinomi

Messaggioda lackyluk » 25/03/2020, 12:17

Chiedo scusa per la nomenclatura, non sono riuscito a reperire ne il carattere speciale per indicare l'insieme ne il modo di mettere pedici. Userò i tuoi suggerimenti in eventuali nuove discussioni.

Tornando all'esercizio, sì la dimostrazione sembrerebbe portare alla conclusione che W sia un sottospazio. Mi risulta chiuso per somma e prodotto, e con quella terna intendo dire che con quei valori ottengo lo zero nel codominio, ''prerequisito'' nella verifica di un sottospazio vettoriale.

Per il resto, o anche per questa prima parte preliminare qualora avessi proceduto in maniera errata già dal principio, attendo consigli.

Grazie
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Messaggioda j18eos » 25/03/2020, 12:31

Praticamente per \(\displaystyle r=-t\) ed \(\displaystyle s=t\) ottieni il vettore nullo... basta semplicemente porre \(\displaystyle r=s=t=0\) e concludi che \(\displaystyle\underline{0}\in W\).

Vabbè, se non ci sono altri dubbi su \(\displaystyle W\): quali sono i rimanenti?
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Re: Esercizio spazio polinomi

Messaggioda lackyluk » 25/03/2020, 12:53

I dubbi sono su tutto il resto dell'esercizio. In particolare sul fatto che nel punto 2 viene chiesto di completare la base ricavata B a W, dando così ad intendere che quella che dovrei ricavare avrà dimensione inferiore.

Ma la condizione non mi dice in sostanza che W sarà formato da qualsiasi polinomio di grado massimo 3?
E quindi a quel punto una base B non potrà essere semplicemente la base canonica $(1, x, x^2, x^3)$ ?

Come giustifico quindi la richiesta del secondo punto?

Insomma, tanta confusione in effetti...
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Re: Esercizio spazio polinomi

Messaggioda lackyluk » 25/03/2020, 15:11

Posso forse esprimere W come $(r+s)(0,0,0,1)+(r+t)(1,0,1,0)+(s-t)(0,1,0,0)$?

La mia base dunque essere $B = {(0,0,0,1), (1,0,1,0),(0,1,0,0)}$ ovvero costituita dai tre polinomi

$p1= x^3$
$p2= 1+x^2$
$p3= x$

Dunque dimensione 3, alla quale aggiungere $(0,0,1,0)$ per completarla a W?

Ho peggiorato le cose?
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Messaggioda j18eos » 25/03/2020, 18:41

Utilizzando la base canonica \(\displaystyle\{1,x,x^2,x^3\}\) allora \(\displaystyle W\) è l'insieme dei vettori aventi coordinate canoniche
\[
(r+s,r+t,s-t,r+t)=r(1,1,0,1)+s(1,0,1,0)+t(0,1,-1,1);
\]
quindi chi è una base di \(\displaystyle W\)?

P.S.: non hai combinato nessun casìno! :wink:
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Re: Esercizio spazio polinomi

Messaggioda lackyluk » 10/04/2020, 14:12

Grazie per la risposta e scusa il ritardo nella mia.

Ho colto meccanicamente cosa hai fatto e cosa implica ma non ho saputo arrivarci e questo è un problema.

Comunque da li la base risulta $B = {(1, 1, 0, 1), (0, 1,-1, 1)}$ che posso completare a W (che avendo tre parametri liberi di variare ha dimensione 3 evidentemente (?))con $(0, 0, 1, 0)$.
Questo giustificherebbe anche la richiesta nel punto 2.

Un ''giusto?'' è d'obbligo visto che non padroneggio affatto la materia...
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Messaggioda j18eos » 11/04/2020, 09:44

lackyluk ha scritto:[...] ma non ho saputo arrivarci e questo è un problema.

Comunque da li la base risulta $B = {(1, 1, 0, 1), (0, 1,-1, 1)}$ che posso completare a W (che avendo tre parametri liberi di variare ha dimensione 3 [...]

  1. Cosa non hai capìto?
  2. Come arrivi a dire che \(\displaystyle B\) è una base di \(\displaystyle W\)?
  3. Fermo restando che \(\displaystyle B\) è una base, che dimensione ha \(\displaystyle W\)?
Nota: \(\displaystyle W\) è generato da \(\displaystyle3\) vettori, quindi usi \(\displaystyle3\) parametri per descrivere i suoi elementi; ma ciò non implica che la dimensione sia \(\displaystyle3\)!

Esempio:\(\displaystyle\langle(1,0),(0,1),(1,1)\rangle\) chi genera in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\)?
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Re: Esercizio spazio polinomi

Messaggioda lackyluk » 13/04/2020, 16:52

Cancellare per favore!!!
Ultima modifica di lackyluk il 13/04/2020, 17:18, modificato 1 volta in totale.
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