Aperti di Zarisky

[MissBabbage]

Ciao a tutti,

vorrei chiedervi se sapete come dimostrare che, se il campo K è infinito, ogni aperto di Zariski A $\ne$ ∅ è denso in $k^n$

A livello concettuale penso sia una banalità ma non so come dimostrarlo rigorosamente.

Grazie a tutti per la risposta!

[j18eos]

Nella topologia di (Oscar) Zariski, tu hai che ogni insieme aperto è l'unione degli insiemi aperti di base, ovvero:
\[
A=\{P\in\mathbb{A}^n\mid(f_1\cdot\dotsc f_m)(P)\neq0\}=\bigcup_{i=1}^m\{P\in\mathbb{A}^n\mid f_i(P)\neq0\}=\bigcup_{i=1}^mD(f_i)
\]
quindi ti basta dimostrare che i \(\displaystyle D(f_i)\) sono densi, ovvero che non sono disgiunti dagli altri aperti di base... come si fa?

[MissBabbage]

Mmh non lo so... Come si fa? Scusa ma è il mio primo approccio alla topologia e non ci sto capendo granchè...

[j18eos]

Prendi dei polinomi \(\displaystyle f\) e \(\displaystyle g\) non costanti (e che ammettano almeno una radice in \(\displaystyle\mathbb{K}\), e determina \(\displaystyle D(f)\cap D(g)\).