Salve a tutti, mi sono imbattuto nei seguenti problemi sulla Cradinalità/Potenza:
1) Nel tentativo di dimostrare che $R^n$ abbia la stessa cardinalità di $R$ ho pensato di adottare il seguente ragionamento:
i)Poiché $[0,1]$ ha la stessa cardinalità di $R$
ii) allora $R^n$ avrà la stessa cardinalità di $[0,1]^n$
iii) siccome $[0,1]^n=[0,1]$ come cardinalità allora R ha la stessa cardinalità di $R^n$
INCERTEZZE:
A)non riesco a dimostrare in alcun modo che $R$ abbia la stessa cardinalità di $[0,1]$, benché mi sembri intuitivamente corretto.
B) Il ragionamento delle potenze che ho fatto sopra mi preoccupa, forse non è corretto?
2)ho trovato un esercizio in cui mi viene chiesto di dimostrare che $P(N)$ abbia la stessa cardinalità di $R$, non ho idea di come procedere; l'esercizio suggerisce di rappresentare i numeri $[0,1]$ in forma decimale binaria del tipo: $0.a1a2a3...$ con $ai=0$ opppure $ai=1$ e mostrare la biunivocità fra questi e $P(N)$.
Il suddetto suggerimento mi manda in confusione, perché i numeri così scritti non sono più un intervallo di $R$ in quanto sono "discontinui" (con ciò intendo che manca di completezza).
3) cercando disperatamente su internet ho trovato una cosa strana:
$Card(R^n)=Card(R^(n-1) * R)=Card(R^(n-1))+Card(R)=Card(R)+Card(R)=Card(R^2)=Card(R)$
come si fanno ad ottenere i passaggi dalla seconda uguaglianza? implicano proprietà a me sconosciute?
(https://math.stackexchange.com/question ... r-is-equal)
Vi ringrazio anticipatamente