Esercizio omeomorfismi in R^n

[MissBabbage]

Testo esercizio:
$R^n$ con la topologia euclidea, considero i seguenti sottospazi con la topologia indotta:
$S^n={x\in R^(n+1) : ||n||=1}\subset R^(n+1)$
$I^n=I\timesI\timesI\times...\timesI \subset R^n$ con $I=[0,1]\subset R$
$T^n= S^1 \times S^1 \times...\times S^1 \subset R^(2n)$ con $S^1 \subet R^2$

Devo trovare:
1) un omeomorfismo tra $S^1$ e la frontiera di $I^2$. Poi, generalizzando, uno tra $S^n$ e la frontiera di $I^(n+1)$
2) un omeomorfismo tra $R^2 \{0}$ e $S^1 x R$. Poi, generalizzando, uno tra $R^(n+1) \{0}$ e $S^n x R$
3) Trovare un omeomorfismo tra $T^2$ e il seguente sottospazio di $R^3$ :
${(x_1 , x_2 , x_3) \subset R^3 : ( \sqrt{(x_1)^2 + (x_2)^2} -2)^2 +(x_3)^2 =1}$

Idea di svolgimento:
Non so fare granchè, però ho alcune idee:
1) Un omomorfismo tra $I^(n+1)$ a $S^n$ può essere trovato normalizzando. Quindi prendo $x\in I^(n+1)$ e ne faccio $x/(||x||)$ e l'inverso rappresenterà ciò che cerco.
$S^1$ rappresenta una circonferenza e $I^2$ un quadrato: l'idea è di allargare la circonferenza finchè non si arriva al quadrato, stringere il quadrato finchè non si arriva alla circonferenza... detto questo non riesco però un modo per formalizzare la cosa.
2)Qui abbiamo un piano e un cilindro infinito e avevo pensato che l'idea è quella di proiettare sul piano, è giusto?
3) Qui non ho la più pallida idea

Ringrazio tutti della risposta e scusate la lunghezza!