Basi in spazi topologici

[Silent]

Mi sto avvicinando ora alla lettura di cosa sia uno spazio topologico. La definizione mi è chiara, mentre ciò su cui mi piacerebbe ricevere un chiarimento è la seguente ulteriore definizione:

A base of the topological space \(\displaystyle (X,\tau) \) is a family \(\displaystyle \mathcal{B} \) of open subsets of \(\displaystyle X \) such that every open set \(\displaystyle G\in\tau \) is the union of some collection of elements of the family \(\displaystyle \mathcal{B} \).

Una 'base' definita in questo modo, è intimamente legata alla definizione di 'base' sotto riportata, oppure no?

\(\displaystyle \mathcal{B} \) è una base in un insieme $X$ se per definizione \(\displaystyle \mathcal{B} \) è una famiglia di sottoinsiemi di $X$ tale che:
1. \(\displaystyle \forall B\in\mathcal{B} (B\neq \emptyset) \);
2. \(\displaystyle \forall B_1,B_2\in\mathcal{B} \exists B\in\mathcal{B} \) tale che \(\displaystyle B\subseteq B_1\cap B_2 \).

Quest'ultima è la definizione che ho utilizzato quando ho studiato i limiti di funzioni, la continuità, l'integrazione...

Se sono legate, purtroppo, non riesco bene a vederlo.

[solaàl]

La seconda definizione non si limita a prendere aperti di una topologia, ma generici sottoinsiemi.

Il fatto che le due si equivalgano è un lemmino: se \(\mathcal B\) è una base (nel primo senso) è una base anche nel secondo senso. Prendi due elementi della base, sono aperti, quindi la loro intersezione è aperta; del resto per ipotesi la loro intersezione è unione di elementi della base; uno qualsiasi dei componenti di questa unione è un elemento di base contenuto nell'intersezione.
Viceversa, se hai una base nel secondo senso, prendi un aperto $U$...

[Silent]

Grazie della risposta. Riflettendoci ancora, alla luce delle tue parole, riassumerei il tutto in questi termini:

Se è dato uno spazio topologico \(\displaystyle (X,\tau) \), allora una qualunque base per \(\displaystyle \tau \) è anche una base in \(\displaystyle X \).

Viceversa, data una base \(\displaystyle \mathcal{B} \) in un generico insieme \(\displaystyle X \), allora il suo sottoinsieme \(\displaystyle \bigcup \mathcal{B} \subseteq X \) può diventare uno spazio topologico \(\displaystyle \left(\bigcup \mathcal{B}, \tau\right) \) utilizzando \(\displaystyle \mathcal{B} \) come base per la definizione di \(\displaystyle \tau \) (\(\displaystyle \tau \) è la famiglia di tutte le possibili unioni di insiemi di \(\displaystyle \mathcal{B} \)).

Ti torna?

Note:
per = base nel primo senso;
in = base nel secondo senso.

[solaàl]

Ogni base genera una topologia, sì, perché la chiusura per unioni arbitrarie di una base di un insieme è una topologia su quell'insieme. Viceversa, ogni topologia ha una base (prova a dimostrarlo). A volte, vuoi tenere a mente la cardinalità minima di una di queste basi, e vengono fuori gli spazi a base numerabile https://it.wikipedia.org/wiki/Assioma_di_numerabilità#Secondo_assioma

[Silent]

Viceversa, ogni topologia ha una base (prova a dimostrarlo).

Non basta prendere \(\displaystyle \mathcal{B}=\tau \)?

[solaàl]

Sì, certo.

[Silent]

Ottimo, grazie per l'aiuto

[Silent]

Scusami se torno con una nuova domanda, sempre sullo stesso argomento. Evito di aprire una nuova discussione.
Il libro che sto leggendo mi propone un esempio, che ora io riscriverò qui sotto usando un pò più di notazione matematica e specificando bene tutti i passaggi logici, per accertarmi di aver capito bene. Ti chiedo per favore solo di darmi una conferma su ciò che leggerai.

Consideriamo l'insieme di tutte le funzioni continue, definite su tutto l'asse reale, cioè \(\displaystyle \{f| f\in C^{(0)}(\mathbb{R},\mathbb{R})\} \). Su questo insieme definiamo delle relazioni di equivalenza \(\displaystyle \sim_a \) dicendo che:

\(\displaystyle f\sim_a g \Leftrightarrow \) esiste un intorno \(\displaystyle U(a) \) del punto \(\displaystyle a\in\mathbb{R} \) in cui \(\displaystyle f(x)=g(x),\forall x\in U(a) \).

Una generica classe di equivalenza generata da \(\displaystyle \sim_a \) la chiamiamo germe nel punto \(\displaystyle a\in\mathbb{R} \) e la indichiamo con \(\displaystyle f_a \), dove \(\displaystyle f \) è un qualsiasi rappresentante della classe. Chiamiamo \(\displaystyle X \) l'insieme di tutti i possibili germi in tutti i possibili punti di \(\displaystyle \mathbb{R} \).
Detto questo, allora prendendo il generico intorno \(\displaystyle U_\mathbb{R}(a) \) del punto \(\displaystyle a\in\mathbb{R} \), possiamo definire il corrispondente generico intorno \(\displaystyle U_{X}(f_a) \) di un germe \(\displaystyle f_a\in X \) come l'insieme dei germi \(\displaystyle f_x \), con \(\displaystyle x \in U_\mathbb{R}(a) \) (germi generati dalla stessa funzione \(\displaystyle f \), come sottolinea la notazione usata).
Chiamando \(\displaystyle \mathcal{B} \) l'insieme di tutti i possibili intorni \(\displaystyle U_X(f_a) \) di tutti i possibili germi \(\displaystyle f_a \), in tutti i possibili punti \(\displaystyle a\in\mathbb{R} \), possiamo dire che \(\displaystyle \mathcal{B} \) costituisce una base per una topologia in \(\displaystyle X \).
In particolare, quando si dice che \(\displaystyle \mathcal{B} \) è una base, senza specificare la topologia per cui dovrebbe esserlo, si sta pensando a \(\displaystyle \tau = \) tutte le possibili unioni di elementi di \(\displaystyle \mathcal{B} \).

E' tutto corretto?

[solaàl]

E' la costruzione dello spazio etalé associato a un fascio, no? In particolare, al fascio \(C^0\).

[Silent]

costruzione dello spazio etalé associato a un fascio

Non so di cosa stai parlando, ma immagino di sì se l'hai riconosciuta
Io sto semplicemente studiando gli spazi topologici (e metrici) e sto vedendo degli esempi.
Ad ogni modo, ho scritto delle cavolate?