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Buonasera,
Sto leggendo la definizione di sottospazio vettoriale.

Sia $(V,+,*,K)$ spazio vettoriale su $K$ "posto per semplicità $V(K):=(V,+,*,K)$"e sia $WsubseteqV$ si definisce sottospazio vettoriale di $V(K)$ nella seguente maniera:



Vi chiedo ma le operazioni di somma e prodotto che vengono definite in $W$ sono quelle indotte da $V$ ?
Mi verrebbe da dire di si inoltre, aggiungerei: per forza !!
Essendo per definizione $W$ una parte stabile di $V$, quindi risulta che l'operazione di somma, piuttosto che il prodotto, è un'operazione indotta da $+_V$ su $W$.

Certo, sono le restrizioni \( {+}{\restriction_{W\times W}}\colon W\times W\to V \) e \( {\cdot}{\restriction_{K\times W}}\colon K\times W\to V \).

Ti ringrazio innanzi tutto per avermi risposto.. l'unica cosa, non mi torna la definizione di operazione indotta che hai dato.
Quindi, se ho ben capito, si potrebbe dimostrare che: $W$ sottospazio vettoriale ha la stessa struttura vettoriale di $V$, quindi $W$ è uno spazio vettoriale su $K$.

Mi spiego meglio:
Sia $V(K)$ inoltre considero la definizione da me data:

Pasquale 90 ha scritto:

$ W $ sottospazio vettoriale di $ V(K) \ <=> \ a) \ W ne emptyset, \ \ b)\ u,v in W\to\ u+v in W, \ c)\ a in K, \ u in W, \ to \ au in W. $

Vorrei dimostrare che $W$ è uno spazio vettoriale (secondo la definizione) su $K$ con le operazioni indotte:
da $V$.

Come detto, dalla definizione di sottospazio vettoriale, si osserva che le operazioni che compaiono per definirlo, sono le operazioni indotte da $V$.
Quindi si la seguente struttura algebrica $(W,+_(| WtimesW),cdot_(|KtimesW),K)$.

Quindi dobbiamo verificare che:
1) $(W,+_(| WtimesW))$ gruppo abeliano.
2)...
Continuo, sto andando bene ?

Sinceramente non ho capito il tuo dubbio. Se \( V \) è uno spazio sul campo \( K \), un suo sottospazio \( W \) è definito come un sottoinsieme \( W\subset V \) chiuso per le stesse operazioni di \( V \). Poi, sì, se sei iper-formale e vedi uno spazio vettoriale come una quadrupla \( \left(V,K,{+},{\cdot}\right) \), puoi fare del sottospazio \( W \) uno spazio vettoriale in sé facendogli indossare la struttura di spazio vettoriale come \( \left(W,K,{+}{\restriction_{W\times W}},{\cdot}{\restriction_{W\times W}}\right) \).

Per dimostrare che \( \left\{\bigl(\begin{smallmatrix}x_1\\x_2\end{smallmatrix}\bigr):\alpha x_1 + \beta x_2 = 0\right\} \) è un sottospazio di \( K^n \) (per \( \alpha,\beta\in K \) campo fissati) non ti fai queste pippe. Mostri che, presi due \( \bigl(\begin{smallmatrix}x_1\\x_2\end{smallmatrix}\bigr) \) e \( \bigl(\begin{smallmatrix}y_1\\y_2\end{smallmatrix}\bigr) \) di quell'insieme, è \( \bigl(\begin{smallmatrix}x_1\\x_2\end{smallmatrix}\bigr) + \bigl(\begin{smallmatrix}y_1\\y_2\end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix}x_1 + y_1\\x_2 + y_2\end{smallmatrix}\bigr) \) è ancora elemento di quell'insieme, e cioè vale \( \alpha\left(x_1 + y_1\right) + \beta\left(x_1 + y_2\right) = 0 \). Eccetera.

Se vuoi esempi più esotici, dimostra che \( \left\{\bigl(\begin{smallmatrix}x_1\\\dots\\x_n\end{smallmatrix}\bigr):\sum_{i}x_i^2\right\} \) è un sottospazio di \( K^n \) per ogni campo \( K \) di caratteristica \( 2 \) c:

Aspetta, forse stavi chiedendo: "È vero che se \( W \) sottospazio di \( V \), allora con \( {+} \) e \( {\cdot} \) ristrette è uno spazio su \( K \)?". Sì, appunto.

marco2132k ha scritto:Aspetta, forse stavi chiedendo: "È vero che se \( W \) sottospazio di \( V \), allora con \( {+} \) e \( {\cdot} \) ristrette è uno spazio su \( K \)?". Sì, appunto.

Quindi sostanzialmente , e che se voglio dimostrare che
$(W,+_(|WtimesW))$ gruppo abeliano;
$u,v,w in W$ si ha:
allora risulta $+_(|WtimesW)$ associativa in $W$
In modo analogo per la commutatività. Invece $W$ è per def. un sottospazio vettoriale, quindi è chiuso rispetto al prodotto per uno scalere cioè, $a in K$ e $v in W$ risulta $av in W$, basta prendere:
1) $a=0$ per verificare che il vettore nullo $0 in W$,
2) $a=-1$ per verificare che esiste l'opposto di ogni vettore.
quindi abbiamo provato che $(W,+_(|WtimesW))$ è un gruppo abeliano.

Quindi bisogna procedere cosi ?

Il tuo \( W \) è uno spazio vettoriale con le operazioni \( {+} \) e \( {\cdot} \) di \( V \) "ristrettegli" in dominio e in codominio: che la restrizione in dominio "a \( W \)" di queste funzioni mappi in \( W \) è esattamente quello che è chiesto affinché \( W \) sia sottospazio (occhio che una funzione è di fatto una tripla \( \left(X,Y,f\right) \), e quindi molto formalmente \( \left(W\times W,V,{+}\right) \) e \( \left(W\times W,W,{+}\right) \) non sono la stessa funzione; quindi è giusto specificare che \( W \) è sottospazio con \( + \) e \( {\cdot} \) ristrette in dominio e in codominio, se vuoi).

Devi far vedere che \( \left(W,K,{+},{\cdot}\right) \) è uno spazio vettoriale; lo fai allo stesso modo di come verifichi che un qualsiasi insieme \( X \) con qualsiasi operazioni della firma giusta è uno spazio vettoriale. Nota che tutte le proprietà che devi verificare seguono banalmente: se valgono nell'insieme \( V \) "grande", varranno anche nell'insieme \( W\subset V \) "piccolo".

bisogna procedere così?

Sì.

marco2132k ha scritto:(occhio che una funzione è di fatto una tripla \( \left(X,Y,f\right) \), e quindi molto formalmente \( \left(W\times W,V,{+}\right) \) e \( \left(W\times W,W,{+}\right) \) non sono la stessa funzione; quindi è giusto specificare che \( W \) è sottospazio con \( + \) e \( {\cdot} \) ristrette in dominio e in codominio, se vuoi).

Questa è una cosa che mi chiedo, perché non vengono specificate nelle definizioni queste osservazioni...

Comunque continuo, devo verificare le proprietà riguardanti il prodotto, sia:

Siano $a,v in K$ e $w in W$
1) $(a +_(| WtimesW) b)cdot_(|KtimesW)w=(a+b)cdot_(|KtimesW)w=(a+b)w=aw+bw=acdot_(|KtimesW)w+bcdot_(|KtimesW)w=acdot_(|KtimesW)w+_(| WtimesW) bcdot_(|KtimesW)w$

Ora si dovrebbe provare: proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma di vettori, proprietà associativa del prodotto ed esistenza dell'elemento neutro del prodotto.
Poichè si dimostrano in modo analogo alla precedente, ti chiedo caro marco2132k se quanto scritto è corretto.

Saluti

Quindi, se ho capito bene, tu vorresti metterti di buona lena a vericare tutti gli assiomi di spazio vetteriole per ogni canditato sottospazio vettoriale? Se vuoi, puoi farlo, ma è lungo e noioso.
Tieni conto che, a parte l'assioma di esistenza del vettore nullo, tutti gli altri sono universali, i.e. (se li formalizzi) iniziano con dei quantificatori universali. Questa parentesi logica sta a dire che: posso avere qualche nozione di sottospazio? Dipende. Se un sottoinsieme ha delle proprietà sufficienti (chiusura rispetto a \(+\) e \(\cdot\)), riesci a provare che ha il vettore nullo (e hai così verificato l'unico assioma esistenziale). Tutti gli altri assiomi di spazio vettoriale? Ecco... Vengono ereditati naturalmente dallo spazio che contiene l'insieme in esame, data la chiusura rispetto alle due operazioni.

Buonasera, no no...non voglio provare che per ogni candidato sottospazio vettoriale verifichi che è uno spazio vettoriale, la mia incertezza era sulla formalizzazione in modo corretto delle operazioni indotta da $V$ su $W$, per questo motivo ho usato molta formalità nei precedenti topic.