Gruppi topologici separati e quozienti.

[3m0o]

Sia \(H \) un sottogruppo di un gruppo topologico \(G \) separato. Dimostra che \( G/H \) è separato se e solo se \( H \) è chiuso in \(G \).

Non capisco un paio di cose nella dimostrazione

Sia \( \pi : G \to G/H \) l'applicazione quoziente definito per \( \pi(g)=\bar{g} = gH \)

Se supponiamo \( G/H \) separato allora per tutti i \( G \ni g \not\in H \) abbiamo che possiamo trovare due aperti disgiunti \(U,V \subset G/H \) contenenti rispettivamente \( gH \) e \( H \). Allora \( \pi^{-1}(U) \) è un intorno aperto di \(g \) che non interseca \(H \). Deduciamo che \(H \) è chiuso.
(Come fa a dedurre che \(H \) è chiuso?)

Reciprocamente supponiamo che \(H \subset G \) sia chiuso. E notiamo \( f: G \times G \to G \). Definita da \((x,y) \mapsto xy^{-1} \), l'applicazione è continua siccome composizione di funzioni continue. Se \( g \not\in H \) è un elemento di \(G \) allora \( f^{-1}(G \setminus H ) \) è un aperto di \( G \times G \) contenente \( (g,1) \). Possiamo dunque trovare un aperto di \( (g,1) \in f^{-1}(G \setminus H ) \) della forma \( U \times V \), con \( U ,V \in G \) aperti (presumo li richieda disgiunti siccome \(G \) è separato) e contenenti rispettivamente \( g \) e \( 1 \). Allora \( HV \) è un intorno aperto di \( H \) disgiunto da \( U \), altrimenti se avessimo \( u \in U \cap HV \) allora avremmo che \( u v^{-1} \in H \) per un certo \( v \in V \), il che è assurdo
(non capisco cos'è l'assurdo)

Ora ponendo \( W = \bigcup_{h \in H} Uh \) abbiamo un intervallo aperto di \(gH \) in \(G \) che è disgiunto da \(HV \). Nel quoziente abbiamo dunque ottenuto due aperti contenenti rispettivamente \( gH \) e \( H \).

Ora non capisco perché \( W \) è disgiunto da \(HV \) ne tanto meno perché abbiamo dimostrato che \( G/H \) sia separato, dalla conclusione ha dimostrato solo che \( gH \) e \( H \) sono separati da due aperti disgiunti per ogni \( g \in G \) ma non ha dimostrato che \( gH \) e \(g'H \) con \( g,g' \in G \) qualunque.

[Bremen000]

Mah secondo me tutto questo esercizio discende da una proprietà dei gruppi topologici e dalla definizione di topologia quoziente. Mi spiego:

1. Se $G$ è un gruppo topologico e $1 \in G$ è l'elemento neutro, allora $G$ è separato se e solo se $\{1\} \subset G$ è chiuso. Un'implicazione è immediata (i singoletti sono chiusi negli spazi separati). L'altra viene dal fatto che la diagonale di $G$ è esattamente la controimmagine di $\{e\}$ attraverso la tua funzione $f$ e risulta quindi essere chiusa. Questo è equivalente a dire che lo spazio è separato.

2. Se $G$ è un gruppo topologico e $H < G$, allora \( C \subset G/H \) è chiuso se e solo se $\pi^{-1}(C) \subset G$ è chiuso.

Quindi

\( G/H \) è separato se e solo se \( \{ [1] \} \subset G /H \) è chiuso se e solo se $\pi^{-1}([1]) \subset G$ è chiuso se e solo se $H= \pi^{-1}([1])$ è chiuso.

Ad ogni modo:

Per la prima, ti sta dimostrando che per ogni $g \notin H$ esiste un intorno aperto di $g$ che non interseca $H$ i.e. il complementare di $H$ è aperto i.e. $H$ è chiuso. Per fare questo prende $g \notin H$ e osserva che $1 \in H$, quindi $g \ne 1$. Allora anche $\pi(g) \ne \pi(1)$. Siccome \( G/H\) è separato esistono \( U,V \subset G/H \) aperti disgiunti tali che $\pi(g) \in U$ e $\pi(1) \in V$. Per definizione di topologia quoziente $\pi^{-1}(U), \pi^{-1}(V) \subset G$ sono aperti e sono pure disgiunti perché $U$ e $V$ lo sono. Ora basta che osservi che $H \subset \pi^{-1}(V)$ perché $\pi(H) = \pi(1) \in V$.

[...]e contenenti rispettivamente \( g \) e \( 1 \). Allora \( HV \) è un intorno aperto di \( H \) disgiunto da \( U \), altrimenti se avessimo \( u \in U \cap HV \) allora avremmo che \( u v^{-1} \in H \) per un certo \( v \in V \), il che è assurdo
(non capisco cos'è l'assurdo)
[...].

Tu, per adesso, hai trovato che esistono $U,V \subset G$ aperti disgiunti con $g \in U$, $1 \in V$ tali che
\[ (g,1) \in U \times V \subset f^{-1}(G \setminus H).\]
Allora $\pi(V)$ e $\pi(U)$ sono disgiunti: se non lo fossero, esisterebbero $v \in V$ e $u \in U$ tali che $\pi(u)=\pi(v)$ i.e. esisterebbe un $h \in H$ tale che $uv^{-1}=h \in H$ i.e. $ f(u,v) \subset H$ che è assurdo perché $(u,v) \in f^{-1}(G \setminus H)$.

Il punto qui è che $\pi(U)$ non è necessariamente aperto, perché $U$ non è saturo. Invece
\[ W := \cup_{h \in H} Uh \]
è ancora aperto perché unione di aperti, contiene $g$ e non interseca $V$. Quindi, ancora come prima $\pi(W) \cap \pi(V) = \emptyset$. Inoltre $W$ è saturo. Quindi $\pi(W)$ è aperto in \( G/H\) e non interseca $[1]$. Allora $\{[1]\}$ è chiuso. Quindi \( G/H \) è separato.

[3m0o]

Non avevo visto la risposta.

Allora $\pi(V)$ e $\pi(U)$ sono disgiunti: se non lo fossero, esisterebbero $v \in V$ e $u \in U$ tali che $\pi(u)=\pi(v)$ i.e. esisterebbe un $h \in H$ tale che $uv^{-1}=h \in H$ i.e. $ f(u,v) \subset H$ che è assurdo perché $(u,v) \in f^{-1}(G \setminus H)$.

Ho capito. Per lo stesso motivo mi dice che \( U \) è disgiunto da \(HV \) ?

\[ W := \cup_{h \in H} Uh \]
è ancora aperto perché unione di aperti, contiene $g$ e non interseca $V$. Quindi, ancora come prima $\pi(W) \cap \pi(V) = \emptyset$. Inoltre $W$ è saturo. Quindi $\pi(W)$ è aperto in \( G/H\) e non interseca $[1]$. Allora $\{[1]\}$ è chiuso. Quindi \( G/H \) è separato.

Un paio di precisazioni chiederei
- \( W \) è unione di aperti perché moltiplicare per \( h \) a destra che varia in \(H\) è come traslare i miei aperti e poi ne faccio l'unione?
- \( W \) contiene \( g \) perché \( 1 \in H \) e dunque \( U \subset W \), altrimenti non potremmo avere la certezza \( g \) è dentro \( W \), potrei traslare troppo i miei \( U \), corretto?
- Intendi che \(W \) non interseca \(HV \), e non \(V \), e non lo fa per lo stesso motivo di \( U \). Giusto?
Però se prendo \( w \in W \cap HV \) allora \( w = hv \) e dunque \( w v^{-1} \in H \), ma come fai a dire che \( f(w,v) \subset G \setminus H \) ?
- Come fai a dire che \( W \) è saturo? Perché essere saturi implica che \( \pi(W) \) è aperto?
- Quando scrivi \( [1] \) intendi \( H \subset G / H \), giusto?
- Quando dici \( \{ [1] \} \) è chiuso quindi \( G/ H \) è separato stai usando quanto detto nel punto 1. ?

1. Se $ G $ è un gruppo topologico e $ 1 \in G $ è l'elemento neutro, allora $ G $ è separato se e solo se $ \{1\} \subset G $ è chiuso.

Se sì, è un problema, perché \( G/ H \) potrebbe non essere un gruppo, quindi nemmeno un gruppo topologico, perché \( H \) non è necessariamente normale

[Bremen000]

[...]Ho capito. Per lo stesso motivo mi dice che \( U \) è disgiunto da \( HV \) ?[...]

Io chiamo $\pi(V)$ esattamente quello che tu chiami $HV$ credo. In tutto ciò io ho assunto che $H$ fosse normale anche perché se no come definisci \( G / H \) ? Io qui sono ben lontano dalla mia (ristretta) area di competenza matematica quindi potrei sbagliarmi.

[...]
- \( W \) è unione di aperti perché moltiplicare per \( h \) a destra che varia in \( H \) è come traslare i miei aperti e poi ne faccio l'unione?
- \( W \) contiene \( g \) perché \( 1 \in H \) e dunque \( U \subset W \), altrimenti non potremmo avere la certezza \( g \) è dentro \( W \), potrei traslare troppo i miei \( U \), corretto?
- Intendi che \( W \) non interseca \( HV \), e non \( V \), e non lo fa per lo stesso motivo di \( U \). Giusto?
Però se prendo \( w \in W \cap HV \) allora \( w = hv \) e dunque \( w v^{-1} \in H \), ma come fai a dire che \( f(w,v) \subset G \setminus H \) ?
- Come fai a dire che \( W \) è saturo? Perché essere saturi implica che \( \pi(W) \) è aperto?
- Quando scrivi \( [1] \) intendi \( H \subset G / H \), giusto?
- Quando dici \( \{ [1] \} \) è chiuso quindi \( G/ H \) è separato stai usando quanto detto nel punto 1. ?
[...]

-Esatto
-Esatto
-No intendo proprio $V$.
-Non capisco. Per me $W \subset G$ mentre \( HV= \pi(V) \subset G/ H \) quindi non capisco.
-Prova a dimostrare che è saturo. ll fatto che $\pi(W)$ sia aperto segue dalla definizione di topologia quoziente perché $W$, essendo saturo, è esattamente la controimmagine di $\pi(W)$ attraverso $\pi$.
-Intendo proprio l'elemento neutro in \( G / H \) che tu identifichi con tutto $H$ perché coincide con l'immagine di tutto $H$ attraverso $\pi$.
-Esatto.


Ripeto, non so una mazza di algebra in generale, ma mi sembra un'ipotesi naturale chiedere che $H$ sia normale.

[3m0o]

Nell'enunciato c'è scritto solo sottogruppo e non sottogruppo normale. Solitamente me lo specificano sempre se è normale. Semplicemente \( G/H \) lo vedi come le classi di equivalenza della relazione d'equivalenza seguente.
\( g \sim g' \) se e solo se \( g^{-1} g' \in H \) ovvero equivalentemente se \( g' = gh \) e le classi di equivalenza di \( g \) si scrivono anche \( gH \). Ma se è sottogruppo non normale di \(G \), \( G/H \) non è un gruppo quindi lo vedo come uno spazio topologico munito della topologia quoziente e nulla più.

Cioé mi sta quozientando \( G/ \sim \) fondamentalmente.

Io chiamo $ \pi(V) $ esattamente quello che tu chiami $ HV $ credo. In tutto ciò io ho assunto che $ H $ fosse normale anche perché se no come definisci \( G / H \) ? Io qui sono ben lontano dalla mia (ristretta) area di competenza matematica quindi potrei sbagliarmi.

Ma \( HV \) è un intorno di \(H \) disgiunto da \( U \) ed quest'ultimo è un intorno aperto di \( g \in G \) quindi è un aperto di \(G \). Infatti mi sta traslando \(V \) in modo che sia disgiunto da \( U \) moltiplicando a sinistra per \(H \) (credo), almeno leggendo le soluzioni mi pare sia così. Che senso avrebbe dire che \( HV \) è disgiunto da un aperto \( U \) se sono aperti di spazi differenti, con topologie differenti?

[3m0o]

Allora \( HV \) è un intorno aperto di \( H \) disgiunto da \( U \), altrimenti se avessimo \( u \in U \cap HV \) allora avremmo che \( u v^{-1} \in H \) per un certo \( v \in V \), il che è assurdo
(non capisco cos'è l'assurdo)

Da qui direi che \( HV \subset G \) ed è visto come aperto nella topologia del gruppo topologico

Ora ponendo \( W = \bigcup_{h \in H} Uh \) abbiamo un intervallo aperto di \(gH \) in \(G \) che è disgiunto da \(HV \). Nel quoziente abbiamo dunque ottenuto due aperti contenenti rispettivamente \( gH \) e \( H \).

E la conferma arriva da qui dove le soluzioni mi dicono che \( W \cap HV = \emptyset \) e quindi \( \pi(W ) \cap \pi(HV) = \emptyset \) dunque \( gH \) e \(H \) sono separati e poi conclude (non so come visto che \( G/H \) non è un gruppo ) che lo spazio è separato.

[3m0o]

La stessa direzione credo si possa fare anche in questo modo senza usare la normalità di \( H \).
Supponiamo \( H \) chiuso e definiamo \( f : G \times G \to G \) data da \( (x,y) \mapsto xy^{-1} \) che è continua. Qundi \( f^{-1}(H) \) è chiuso in \( G \times G \) pertanto se \( xy^{-1} \in H \) abbiamo che \( x H = y H \). Dunque abbiamo che il sottoinsieme di \( G \times G \) seguente è chiuso
\[ \{ (x,y) \in G \times G | xH = y H \} \]
Pertanto il complementare è aperto
\[ \{ (x,y) \in G \times G | xH \neq y H \} \]
Passando al quoziente \( \pi \times \pi : G \times G \to G/H \times G/H \) (e considero \(G/H \) solo come insieme di classi di equivalenza), abbiamo che
\[ \{ (xH,yH) \in G/H \times G/H | xH \neq yH \} \]
è un aperto siccome \( \pi \times \pi \) è una mappa aperta (anche se non sono sicuro). Dunque il complementare è chiuso
\[ \{ (xH,yH) \in G/H \times G/H | xH = yH \} = \{ (xH,xH) \in G/H \times G/H \} = \Delta_{G/H} \]
dunque utilizzando il fatto che \( X \) è uno spazio topologico di Hausdorff se e solo se la diagonale \( \Delta_X := \{ (x,x) \in X \times X | x \in X \} \) è chiusa. Deduciamo che \( G/H \) è di Hausdorff.

Edit 2: E per l'altra direzione credo che avrei potuto usare il fatto che siccome \( G/ H \) è separato allora il grafico \( \Gamma \) della relazione di equivalenza è chiuso. Ed il grafico è \[ \Gamma= \{ (g,g') \in G \times G | g \sim g' \} = \{ (g,g') \in G \times G | \exists h \in H, g' = g h \} = \{ (g,g') \in G \times G | g^{-1}g' \in H \} = H \times H \]
Dunque \( H \) è chiuso.

E qui non ho usato il fatto che \( H \) è normale in \(G \), ma la soluzione delle correzioni della serie di esercizi non la capisco proprio...

Edit: Infatti puoi vedere \( H \) come sottogruppo (non necessariamente normale) topologico di \(G \) e allora hai che \( H \) agisce su \( G \) per moltiplicazione a sinistra infatti \( G \times H \to G \) definita da \( (g,h) \mapsto gh \) è un azione. E lo spazio quoziente è dato dallo spazio delle orbite dell'azione di \( H \) su \(G \) che coincide proprio con le classi di equivalenza. Quindi possiamo vedere \( G/H \) come il quoziente della relazione di equivalenza indotta dall'azione di \( H \) su \(G \). Inoltre \( \pi \) è una mappa aperta perché per qualunque spazio topologico \( X \) e qualunque gruppo topologico \(G \) che agisce su \(X \) abbiamo che il quoziente \( q : X \to X/G \) è aperto. Nel nostro caso \( H \) è il gruppo topologico che agisce sullo spazio (e anche gruppo) topologico \( G \). Dunque il fatto che \( H \) non è normale non è un problema.