Strutture cellulari e spazi lenticolari

[3m0o]

Mi chiedevo cosa fosse esattamente una cellula. Non mi hanno dato una definizione di questo oggetto. Il prof utilizza la notazione \( e^n \) per indicare la palla chiuso in \( \mathbb{R}^n \) quando parla di cellule le indica sempre con \( e^n \) e mi chiedevo se le cellule sono semplicemente delle palle (piene) oppure cosa? Il dubbio mi è sorto da questo esercizio

Sia \( \omega = e^{2\pi i/3 } \) una radice terza dell'unità. Definiamo l'azione del gruppo ciclico \( C_3 \) sulla sfera \( S^3 = \{ (a,b) \in \mathbb{C}^2 | \left| a \right| + \left| b \right| = 1 \} \) facendo agire il generatore per \( (a,b) \mapsto (\omega a , \omega^2 b) \). Lo spazio quoziente \( S^3/ C_3 \) è uno spazio lenticolare chiamato \( L(3,2) \). Consideriamo tre punti \( e_0^0 = (1,0 \), \( e_1^0 = (\omega,0 ) \) e \( e_2^0 = (\omega^2, 0 ) \) e definiamo per \( 0 \leq r \leq 2 \)
\[ e_r^1 = \{ (e^{i \theta},0 ) : 2 \pi r/3 \leq \theta \leq 2 \pi (r+1)/3 \} \]
\[ e_r^2 = \{ (\rho e^{i \theta},\sqrt{1-\rho^2} e^{2 \pi r/3} ) : 0 \leq \theta \leq 2 \pi; 0 \leq \rho \leq 1 \} \]
\[e_r^3 = \{ (\rho e^{i \theta},\sqrt{1-\rho^2} e^{\theta '} ) : 0 \leq \theta < 2 \pi; 0 \leq \rho \leq 1; 2\pi r/3 \leq \theta' \leq 2 \pi (r+1)/3 \} \]

1) Dimostra che \( L(3,2) \) è compatto
2) Dimostra che \( e_r^m \) è omeomorfo a un disco \(D^m \) il cui bordo è costituito da cellule \( e_r^i \), con \( i < m \)
3) Dimostra che l'azione di \(C_3 \) permuta transitivamente queste cellule.
4) Concludere che \(L(3,2) \) ammette una struttura cellulare \( e^0 \cup e^1 \cup e^2 \cup e^3 \) con esattamente una cellula di dimensione \(m \) per tutti gli \( 0 \leq m \leq 3 \).

Ora non ho proprio capito cos'è una cellula ne tanto meno una struttura cellulare.
Per il punto 1 e 3 dovrei esserci, per i punti 2 e 4 nonostante ho a disposizione le soluzioni non capisco nulla.

1) Siccome \( C_3 \) posso vederlo come gruppo topologico discreto e siccome \( S^3 \) è compatto allora \( S^3/C_3 \) è compatto.

2) Le soluzioni dicono quanto segue, ma io non ho capito nulla!
La parametrizzazione che definiscono i \( e_r^n \) sono degli omoeomorfismi per \(n = 1,2,3 \) e \( r=0,1,2\).
Per esempio per \(n = 3 \) la parametrizzazione \( ( \rho, \theta, \theta' ) \mapsto (\rho e^{i \theta},\sqrt{1-\rho^2} e^{\theta '} ) \) è un omeomorfismo \( I^3 \approx e_r^3 \). E abbiamo ugualmente che \( \partial e_r^3 = e_r^2 \cup e_{r+1}^2 \) (e per convenzione \(e_4^n = e_0^n \)

3) Basta verificare che il generatore di \(C_3 \) agisce nel seguente modo \( \omega \cdot e_r^n = e_{r+1}^n \) e dunque permuta in modo transitivo gli \( e_r^n \) per ogni \(n \). Ne faccio uno solo
Il generatore ricordo essere \( \omega = e^{2 \pi i/3} \) se lo faccio agire su \( e_r^1 \) ottengo
\[ \omega \cdot \{ (e^{i \theta}, 0 ) : 2 \pi r/3 \leq \theta \leq 2 \pi (r+1)/3 \} = \{ ( \omega e^{i \theta}, \omega^2 \cdot 0 ) : 2 \pi r/3 \leq \theta \leq 2 \pi (r+1)/3 \} =\{ ( e^{i \theta'}, 0) : 2 \pi (r+1)/3 \leq \theta' \leq 2 \pi (r+2)/3 \} = e_{r+1}^1 \]

4) Le soluzioni dicono quanto segue ma io non ho capito nulla.
Gli \( e_r^n \) definiscono una struttura cellulare su \(S^3 \) data per \( S^3 = \bigcup_{n=0}^{e} \bigcup_{r=0}^{2} e_r^n \). Abbiamo tre \(n \)-cellule per ciascun \(n=0,1,2,3\) quindi 12 cellule in tutto. Questa struttura è compatibile con l'azione di \(C_3 \). Passa dunque al quoziente e definisce una struttura cellulare \( L(3,2)=e^0 \cup e^1 \cup e^2 \cup e^3 \), che comporta di una sola \(n\)-cellula per ciascun \(n=0,1,2,3\) dato per \(e^n = [e_r^n] \).

[solaàl]

Una cella di un complesso cellulare è semplicemente l'immagine omeomorfa di un disco (del suo interno). La definizione degli spazi lenticolari che sta in Hatcher è notoriamente un po' difficile da capire; solitamente, a livello elementare, uno introduce questi spazi quando parla di gruppo fondamentale.

[3m0o]

Okay, ed immagino che una struttura cellulare o complesso di celle sia semplicemente uno spazio che può essere scritto come unione di celle. Comunque anche con la definizione mi è oscura questa soluzione

Questa struttura è compatibile con l'azione di \(C_3 \).

Cosa vuol dire che una struttura cellulare è compatibile sotto un azione?

Passa dunque al quoziente e definisce una struttura cellulare \( L(3,2)=e^0 \cup e^1 \cup e^2 \cup e^3 \)

Perché passa al quoziente?
E come mai la struttura cellulare si trasforma in \(e^0 \cup e^1 \cup e^2 \cup e^3 \)?

Inoltre in 2) quando dice che \( \partial e_r^3 = e_r^2 \cup e_{r+1}^2 \) come fa a dirlo?
La definizione di \( e_r^3 \) è la seguente
\[e_r^3 = \{ (\rho e^{i \theta},\sqrt{1-\rho^2} e^{\theta '} ) : 0 \leq \theta < 2 \pi; 0 \leq \rho \leq 1; 2\pi r/3 \leq \theta' \leq 2 \pi (r+1)/3 \} \]
Come fa a trovare il suo bordo?

[solaàl]

ed immagino che una struttura cellulare o complesso di celle sia semplicemente uno spazio che può essere scritto come unione di celle.

Quasi; il punto è che non ti basta lo spazio sia unione delle sue celle; vuoi due cose:

1. Vuoi che lo spazio sia ottenuto incollando celle/dischi lungo i loro bordi, alle celle di dimensione minore;
2. Vuoi che il risultato sia dotato della topologia quoziente rispetto a queste identificazioni bordo/cella.

Entrambe le cose si formalizzano come segue: un complesso cellulare è uno spazio topologico che si ottiene induttivamente mediante questa costruzione.

Ti viene dato un insieme discreto $A$ (nota che ciascun singoletto \(\{*\}\) non è altro che un disco di dimensione zero, quindi puoi scrivere \(A = \coprod_{\alpha\in A}D^0\)). Chiama questo spazio \(X^0\). Insieme ad esso ti viene un insieme di mappe continue \(\phi_{\alpha,0} : S^0_\alpha \to X^0\); sei dunque in questa situazione:
\[
\begin{CD}
\coprod_\alpha S^0_\alpha @>>> X^0 \\
@VVV @.\\
\coprod_\alpha D^1 @.
\end{CD}
\] dove la mappa verticale include una circonferenza in un disco. Se ora produci il pushout[¹] di queste mappe ti viene fuori uno spazio che chiami $X^1$: si tratta di $X^0$ a cui hai attaccato un certo numero di copie di $D^1=[0,1]$ lungo i bordi di queste ultime copie, che sono \(S^0 =\{0,1\}\). Ora, il cuore di questa definizione è la sua induttività: se ti vengono date delle mappe \(\phi_{\alpha,1} : S^1_\alpha \to X^1\); sei in questa situazione:
\[
\begin{CD}
\coprod_\alpha S^1_\alpha @>>> X^1 \\
@VVV @.\\
\coprod_\alpha D^2 @.
\end{CD}
\] se ora produci il pushout di queste mappe ti viene fuori uno spazio che chiami $X^2$; si tratta di $X^1$ a cui hai incollato un certo numero di copie del disco di dimensione 2 $D^2 = B(0,1] \subseteq \mathbb R^2$ lungo i bordi di queste ultime, che sono delle copie della circonferenza unitaria in $\mathbb R^2$. Del resto se ora ti sono date delle mappe \(\phi_{\alpha,2} : S^2_\alpha \to X^2\); sei in questa situazione:
\[
\begin{CD}
\coprod_\alpha S^2_\alpha @>>> X^2 \\
@VVV @.\\
\coprod_\alpha D^3 @.
\end{CD}
\] ...il fatto che io abbia prodotto l'ultima frase semplicemente copiano e incollando il testo e sostituendo ogni occorrenza di "1" con"2" ti permette di capire che ora produrrai spazi \(X^3, X^4,\dots, X^n,\dots\) che si organizzano in un diagramma sequenziale
\[
\begin{CD}
X^0 @>>> X^1 @>>> X^2 @>>> X^3 @>>> X^4 @>>> \dots @>>> X^n @>>> \dots
\end{CD}
\] Ora,

1. Ciascuna mappa \(X^i \to X^{i+1}\) è iniettiva (di più, è una cofibrazione);
2. Ciascuno di questi spazi si chiama l'$n$-scheletro del colimite diretto di questa sequenza di spazi, ovvero l'unione \(\bigcup_n X^n\) con la topologia indotta per rendere le varie \(X^i \to X^{i+1}\) tutte continue su questa unione.

[¹]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

supponi di essere in questa situazione. Hai tre spazi topologici e due funzioni continue organizzate in un diagramma
\[
\begin{CD}
A @>f>> X \\
@VgVV @.\\
Y @.
\end{CD}
\] Definisci un ulteriore spazio topologico \(Z=(X\coprod Y)/_\sim\) dove \(\sim\) è la minima relazione di equivalenza che identifica $f(a)$ e $ g(a)$ per ogni $a\in A$. Puoi agevolmente dimostrare che il quadrato
\[
\begin{CD}
A @>f>> X \\
@VgVV @VViV\\
Y @>>j> Z
\end{CD}
\] è commutativo (cioè le mappe $i,j$ definite rispettivamente come \(X,Y \to X\coprod Y\to Z\) sono tali per cui $if=jg$) ed universale con questa proprietà (cioè ogni volta che vengono date $u,v : X,Y\to P$, con $P$ spazio topologico qualsiasi, tali che $uf=vg$, allora esiste ed è unica una funzione continua \(\langle u,v\rangle : Z\to P\) tale che \(\langle u,v\rangle \circ i=u, \langle u,v\rangle \circ j = v\). Questa è la proprietà universale della somma amalgamata (o pushout), che quindi denota \(Z=X\coprod_A Y\). Fare qualche disegno con spazi topologici semplici ti mostrerà che questa è esattamente l'astrazione necessaria a catturare l'idea intuitiva di avere incollato $X$ e $Y$ lungo sottospazi che sono l'immagine continua di funzioni \(A\to X,Y\); il caso particolare in cui $A$ è davvero un sottospazio di $X,Y$ si recupera, ovviamente, quando $f,g$ sono iniettive ed $A$ si identifica a un sottospazio di ciascuno dei due. A titolo di esempio, la somma wedge di due spazi topologici puntati \((X,x), (Y,y)\) si scrive come pushout
\[
\begin{CD}
\{*\} @>x>> X \\
@VyVV @VVV \\
Y @>>> X \lor Y
\end{CD}
\]

[solaàl]

Cosa vuol dire che una struttura cellulare è compatibile sotto un azione?

Supponi di sapere che \(X\) è un complesso cellulare. Allora \(X \cong \bigcup X^i\) per una certa decomposizione in celle.

Che un gruppo agisca su $X$ compatibilmente con la struttura cellulare di \(X\) significa che esiste un omomorfismo di gruppi \(G \to \text{Aut}(X)\) tale che \(g.X^i\subseteq X^i\) per ogni \(i\in\mathbb N\) e \(g\in G\).

Detto altrimenti: una mappa cellulare è una funzione continua \(f :X \to Y\) tra due CW complessi che rispetta la decomposizione in celle dei due spazi, ossia \(f(X^i)\subseteq Y^i\). Un automorfismo cellulare è un omeomorfismo \( f : X \to X\) che è anche una mappa cellulare. Mi pare che gli automorfismi cellulari formino un sottogruppo \(\text{Aut}_c(X)\) di \(\text{Aut}(X)\): un'azione di \(G\) su un complesso cellulare è un omomorfismo di gruppi \(G \to \text{Aut}_c(X)\)

[3m0o]

Ci sono a livello teorico, credo di aver capito quello che dici ma non riesco da questo a capire come fare a trovare che

[...] come mai la struttura cellulare si trasforma in \( e^0 \cup e^1 \cup e^2 \cup e^3 \)?

Inoltre in 2) quando dice che \( \partial e_r^3 = e_r^2 \cup e_{r+1}^2 \) come fa a dirlo?
La definizione di \( e_r^3 \) è la seguente
\[ e_r^3 = \{ (\rho e^{i \theta},\sqrt{1-\rho^2} e^{\theta '} ) : 0 \leq \theta < 2 \pi; 0 \leq \rho \leq 1; 2\pi r/3 \leq \theta' \leq 2 \pi (r+1)/3 \} \]
Come fa a trovare il suo bordo?

Cioé ad applicarlo ad un caso concreto, non riesco a capire come mai le \( U_{r=0}^{2} e_r^n \) si trasformano in \( e^n \) con \( n =0,1,2,3 \) nel caso della struttura cellulare di \( L(3,2) \) ne riesco a capire come trovare il bordo di \( \partial e_r^3 \).