Retrazione per deformazione induce omotopia dello stesso tipo.

[3m0o]

Dimostra che \(S^1 \) e il nastro di Moebius sono omotopi.
Credo che con omotopi intende omotopicamente equivalenti. Quindi dovrei trovare due applicazioni \(f: S^1 \to M \) e \( g: M \to S^1 \) tale che \( g \circ f \) è omotopo all'identità su \( S^1 \) e \( f \circ g \) è omotopo all'identità su \( M \). Dove con \(M \) indico il nastro di Moebius.
Mentre le soluzioni del prof mi dicono una cosa che non abbiamo mai visto e vorrei capire perché funziona.

Identifichiamo \(M \) con il quadrato \( [-1,1] \times [-1,1] \) e con l'identificazione \((-1,t) \sim (1,-t) \) per ogni \( -1 \leq t \leq 1 \). Allora l'applicazione \( h : M \times I \to M \) definita con \( ( (t,t'),s) \mapsto (t,st') \) è continua. Inoltre è una retrazione per deformazione. Detto altrimenti è un omotopia tra una retrazione \( r=h(\cdot,1) : M \to M \) e l'applicazione identità \( \operatorname{id}_M = h(\cdot,0) \).
La retrazione in questione è la proiezione sull'equatore data da \( (t,t') \mapsto (t,0) \).
Per verificarlo è sufficiente dire che \( h((t,t'),0) = (t,0) \) e che \( h((t,t'),1) = (t,t') \) per ogni \( -1 \leq t,t' \leq 1 \). Otteniamo dunque che \( M \simeq S^1 \).

Le mie domande sono queste, sccome non abbiamo mai visto cos'è una retrazione per deformazione vorrei capire
1) Perché una retrazione per deformazione \( r : X \to Y \) induce una equivalenza d'omotopia tra \( X \) e \( Y \) ?
2) Se si, quanto fatto dal prof è trovare una retrazione per deformazione tra \( M \times I \) ed \( M \), la sua \(h \), e perché questo dimostra che \( S^1 \simeq M \) ?

[solaàl]

Dimostra 1, hai la definizione e un claim.

La ragione per cui \(\text{Mö}\) è omotopicamente equivalente a \(S^1\) è proprio che esso si retrae per deformazione su \(S^1\).

[3m0o]

Per 1) ci provo ma non ci riesco.
Allora sia \(Y \subset X \) e \( h : X \to I \to X \) una retrazione per deformazione su \(Y \), questo vuol dire che \( h(x,0)=id_X(x) \) e \( h(x,1) = x \) se \( x \in Y \). Dunque \( h(x,1) \) è una retrazione, denotata con \(r \), che è l'inclusione ristretta a \( Y \).
Inoltre siccome \( h \) è continua abbiamo che è un omotopia tra \(id_X : X \to X \) e \(r : X \to X \).
Dimostriamo che \( X \simeq Y \), ovvero dimostriamo che \(h \) induce un equivalenza omotopica.
Abbiamo infatti che per \(y \in Y \) risulta che \(( id_X \circ r )(y)= id_X(y)=y\) dunque \( id_X \circ r \simeq id_Y \) e per \( x \in X \) abbiamo \( (r \circ id_X )(x) = r(x) \). Che dovrebbe essere omotopa a \( id_X \) ma questo in generale è falso....

2) Ad ogni modo lui fa una retrazione tra \( M \to M \) e \( M\to M \) insomma considera sempre il nastro di Moebius.... infatti \(h(\cdot,1) : M \to M \) e \( id_M : M \to M \) quindi ha un omotopia tra due funzioni che vanno da \(M \to M \) e mai un omotopia tra \( M \to S^1 \) e \( S^1 \to M \).

[solaàl]

1 e 2 sono la stessa cosa detta in generale e rispetto all'inclusione \(S^1 \to \text{Mo}\).

[3m0o]

Sì però, a partire da \( h(\cdot, 1 ) = id_M : M \to M \) e \( h(\cdot, 0)= r : M \to M \) una retrazione di \(M \) su \( S^1 \), come fa a dire che \( S^1 \approx M \) ?
Cioè dovrei avere due applicazioni che composte sono omotope all'identità sui due spazi. Ma se compongo \( (h(\cdot,1) \circ h(\cdot, 0 ) )(x) = ( id_M \circ r ) (x) \) che dovrebbe essere omotopa all'identità su \( S^1 \), ma come fa ad esserlo se avendo \( x \in M \setminus S^1 \) non so cosa fa \( r(x) \) ?
Se \( x \in S^1 \) allora ho che \( r(x) = x \) e quindi \( id_M (x) = x \) ed effettivamente ho che \( id_M \circ r \) è l'identità su \( S^1 \) ma se prendo la \( x \in M \setminus S^1 \) cosa faccio?

Nell'altra direzione idem
\( (r \circ id_M)(x) = r(x) \) dev'essere omotopa all'identità su \( M \) ma una retrazione su \( S^1 \) come fa ad essere omotopa all'identità su \(M \) ???

[solaàl]

Se parametrizzi il nastro nel modo giusto sai benissimo cosa fa $r$: il nastro è un quoziente del quadrato, no? Allora tu non fai altro che mandare un generico punto $(x,y)$ in $(x, 1/2)$, o meglio nella sua classe di equivalenza nel quoziente.

[3m0o]

Quindi \(id_M \circ r \) è omotopa a \( id_{S^1} \) e \( r \circ id_M \) è omotopa a \( id_M \) ?
In generale per ogni retrazione per deformazione \(h: X \times I \to X \) su \( Y \subset X \) tale che \( h(\cdot,0) = r : X \to X \) è una retrazione su \( Y \) e \( h(\cdot,1)= id_X : X \to X \) abbiamo che
\( id_X \circ r \simeq id_Y \) e \( r \circ id_X \simeq id_X \), solo che non riesco a dimostralo...

[solaàl]

Non penso tu abbia capito la definizione di retrazione; e poi \(id_A\) è un pessimo nome per l'inclusione di un sottospazio $A$ in $X$.

Una retrazione di $X$ è un sottospazio $A$ tale che l'inclusione \(i_A : A \to X\) abbia un'inversa sinistra continua; ciò significa che \(ri=1\); non omotopo, proprio uguale.

Un retratto di deformazione è anzitutto un retratto \(r : X \to A\); a questo si aggiunge il dato di una omotopia tra \(ir\) e l'identità di \(X\), diciamo che si chiama \( H : X \times I \to X\) tale che \(H(0,-)=ir, H(1,-)=\text{id}_X\).

Detto questo, \(H : M \times I \to M : [(x,y)]\mapsto [(x, y/2+(1-t)/2)]\), dove \([(u,v)]\in M \cong [0,1]^2/_{\!\sim}\) è la presentazione del nastro do Mobbio come quoziente del quadrato, fa quello che vuoi.

[3m0o]

Cacchio quindi è tautologico il fatto che una retrazione per deformazione induce un omotopia.
Sicché ho che \( r \circ i = id_A \) e \( i \circ r \simeq id_X \)...

Nello stesso modo quindi posso dimostrare che \( \mathbb{R}^2 \setminus \{ (0,0) \} \) ha lo stesso tipo di omotopia di \( S^1 \) vedendo \( S^1 \subset \mathbb{R}^2 \setminus \{ (0,0) \} \).
Ad esempio \( h : \mathbb{R}^2 \setminus \{ \mathbf{0} \} \times I \to \mathbb{R}^2 \setminus \{ \mathbf{0} \} \) definita da \[(\mathbf{x},t) \mapsto h(\mathbf{x},t) = (1-t)\mathbf{x} + t \frac{\mathbf{x}}{\begin{Vmatrix} \mathbf{x} \end{Vmatrix} } \]
Abbiamo infatti che l'inclusione \( i_{S^1} : \mathbb{R}^2 \setminus \{ (0,0) \} \to S^1 \) composta con \( h(\cdot,t) \), per ogni \( t \in I \) mi da l'identità su \( S^1 \) tant'è che
\[ h(\cdot,t) \circ i_{S^1} = \left.\begin{matrix}
h(\cdot,t)
\end{matrix}\right|_{S^1} = id_{S^1} \]
in particolare per \( t=1 \) abbiamo che è una retrazione \( h(\cdot,1) \circ i_{S^1} = id_{S^1} \)
Inoltre abbiamo che \( h(\cdot,0) = id_{ \mathbb{R}^2 \setminus \{ (0,0) \}} \)
Dunque \( h \) è un omotopia tra \( id_{S^1} \) e \( id_{ \mathbb{R}^2 \setminus \{ (0,0) \}} \) e dunque è una deformazione per retrazione, possiamo conludere che \( S^1 \simeq \mathbb{R}^2 \setminus \{ (0,0) \} \)
E possiamo concludere pure che
\( M \simeq \mathbb{R}^2 \setminus \{ (0,0) \} \)