Disegni chiari e spiegazioni dettagliate delle operazioni ed indentificazioni sono sufficienti, non chiediamo parametrizzazioni esplicite.
Io ho pensato a questa cosa però non so come giustificare alcuni passaggi.
In primo luogo so che \( \mathbb{R}P^2 \approx D^2/\sim \) dove \( D^2 \) è il disco pieno in \( \mathbb{R}^2 \) e \( \sim \) è la relazione antipodale. Inoltre siccome possiamo decomporre il disco \( D^2 \) in un disco interno \( \tilde{D}^2 \) di raggio più piccolo e un anello \(A \) esterno abbiamo che \( D^2 \approx \tilde{D}^2 + A \).
Inoltre siccome \( \tilde{D}^2 \approx D^2 \) abbiamo che \( D^2 \approx \tilde{D}^2 + A \)
Dunque (credo ed è uno dei passaggi in cui sono moooolto dubbioso) \( D^2/ \sim \approx (D^2 + A)/\sim \). Dunque (altro passaggio molto dubbioso)
\[ \mathbb{R}P^2 \setminus (D^2/\sim) \approx (D^2/ \sim) \setminus ( D^2/ \sim) \approx (D^2 + A)/\sim \setminus ( D^2/ \sim ) \approx A/\sim \]
Ora tramite le seguenti identificazioni di \( A/\sim \) vediamo che è omeomorfo al nastro di Moebius
come nei disegni nell'immagine qui nello spoiler.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Se quello che ho fatto è giusto sono riuscito ad identificare \( \mathbb{R}P^2 \setminus D^2/\sim \approx M \), dove \(M \) è il nastro di Moebius.
Ora questo potrebbe aiutarmi in quanto so che
\[ \mathbb{R}P^2 \# \mathbb{R}P^2 = ( \mathbb{R}P^2 \setminus U \coprod \mathbb{R}P^2 \setminus V)/x \sim f(x) \]
dove \( U \approx V \approx \operatorname{Int}(D^2) \) e \( f : \partial U \to S^1 \to \partial V \)
Dunque siccome \( U \) e \( V \) sono homeomorfi al disco posso dire che
\[ \mathbb{R}P^2 \# \mathbb{R}P^2 = ( \mathbb{R}P^2 \setminus U \coprod \mathbb{R}P^2 \setminus V)/x \sim f(x) \approx ( M \coprod M)/x \sim f(x) \]
ora so che la bottiglia di Klein è data da
\( K \approx (M \coprod M)/ \sim' \) dove \( \sim' \) è la relazione di equivalenza che mi identifica i bordi delle due bande di Moebius in modo da ottenere una bottiglia di Klein.
Dovrei solo verificare che \( x \sim f(x) \) è uguale a \( \sim' \) ma non so come fare
Quello che ho fatto vi sembra corretto?
