Così come ho fatto:
Consideriamo un poligono regolare \(P \subset \mathbb{R}^2 \) a 12 lati e etichettiamo i differenti lati del bordo con la parola \( aba^{-1} b^{-1} c d c^{-1}d^{-1} e f e^{-1} f^{-1} = [a,b] [c,d] [e,f] \) dove \( [x,y] \) è il commutatore di \( x,y \). Scegliamo uno spigolo di questo poligono e girando in senso orario \( a \) vuol dire avere una frecca in senso orario e \( a^{-1} \) una freccia in senso opposto.
Allora abbiamo che \( P/ \sim \approx T^2 \# T^2 \# T^2 \), dove \( \sim \) è la relazione di equivalenza per identificazione dei lati \(a,b,c,d,e,f \).
Il bordo \( \partial P \approx S^1 \) è un laccetto di \( T^2 \# T^2 \# T^2 \) e la sua immagine per l'applicazione di incollamento, che chiamo \( \varphi \), è un wedge \( \bigvee_1^6 S^1 \).
Inoltre abbiamo che
![\xymatrix{
\partial P \approx S^1 \ar@{}[dr]|(.75)\bullet\ar[r]^{\varphi} \ar[d] & \bigvee_1^6 S^1 \ar[d] \\
D^2 \ar[r]& \bigvee_1^6 S^1 \cup_{\varphi} e^2
}](/forum/latexrender/pictures/c14da6b4782577d451cf979816d4dfb2.png "\xymatrix{
\partial P \approx S^1 \ar@{}[dr]|(.75)\bullet\ar[r]^{\varphi} \ar[d] & \bigvee_1^6 S^1 \ar[d] \\
D^2 \ar[r]& \bigvee_1^6 S^1 \cup_{\varphi} e^2
}")
Ora per determinare la \( \varphi \) non lo so.
Ora se \( \bigvee_1^6 S^1 \cup_{\varphi} e^2 \approx T^2 \# T^2 \# T^2 \) allora questo wedge è un wedge di 6 cerchi attaccati per un punto unito una 2-cella. Dunque la struttura cellulare del toro a 3 buchi è data da 6 1-celle, siccome presumo che \(S^1 \) siano delle 1-celle. Il punto presumo sia una 0-cella, e quindi c'è una sola 0-cella e una 2-cella.
Però non sono sicuro che \( \bigvee_1^6 S^1 \cup_{\varphi} e^2 \approx T^2 \# T^2 \# T^2 \).
A corso il prof ha fatto un esempio simile con il toro a 2 buchi e in quel caso avevamo un poligono a 8 lati regolare i cui lati erano etichettati con \( [a,b] [c,d] \).
![\xymatrix{
S^1 \ar@{}[dr]|(.75)\bullet\ar[r]^{\varphi} \ar[d] & \bigvee_1^4 S^1 \ar[d] \\
D^2 \ar[r]& \bigvee_1^4 S^1 \cup_{\varphi} e^2
}](/forum/latexrender/pictures/7dcbadf56c2f5eaafa59aac963e9ab97.png "\xymatrix{
S^1 \ar@{}[dr]|(.75)\bullet\ar[r]^{\varphi} \ar[d] & \bigvee_1^4 S^1 \ar[d] \\
D^2 \ar[r]& \bigvee_1^4 S^1 \cup_{\varphi} e^2
}")
Ma non ho capito perché il toro a 2 buchi è dato da \( T^2 \# T^2 \approx \bigvee_1^4 S^1 \cup_{\varphi} e^2 \) e inoltre ha detto che \( \varphi \) è la parola \( [a,b][c,d] \), ma in che senso?
Ps: quel pallino blu nel diagramma, in basso a destra sopra il wedge, non so come toglierlo.
