Per $W\subset V$, trovare una base dello spazio quoziente \(V/W\).
Sia $B_W=(w_1,...,w_m)$ una base di $W$. Tale base può sempre essere estesa con opportuni vettori ad una base di $V$, $B_V=(w_1,...,w_m,v_{m+1},...,v_n)$. Claim: una base per lo spazio quoziente è data dall'insieme $(f(v_{m+1}),...,f(v_n))$, dove $f$ è l'omomorfismo naturale \(V\to V/W\).
i) Indipendenza lineare: la relazione $a_{m+1}f(v_{m+1})+...+a_nf(v_n)=0$ implica per linearità $f(a_{m+1}v_{m+1}+...+a_nv_n)=0$, ovvero che $a_{m+1}v_{m+1}+...+a_nv_n$ appartiene al kernel di $f$, $W$.
Dunque tale combinazione può essere scritta in termini dei vettori di $B_W$, da cui si ottiene $$a_{m+1}v_{m+1}+...+a_nv_n-b_1w_1-...-b_mw_m=0,$$ cioè una combinazione lineare dei vettori della base $B_V$, da cui segue che ogni coefficiente, ed in particolare gli $a_{m+1},...,a_n$, devono essere nulli.
Dubbio: sono confuso da questo fatto. In \(V/W\) $W$ è l'elemento identità $0$, ma mi sembra che se si può scrivere $a_{m+1}f(v_{m+1})+...+a_nf(v_n)=0=W$, allora questa combinazione è già un elemento di $W$... cosa mi sto perdendo?