Sergio ha scritto:Determinanti?
Data una matrice quadrata $A$, se scambi due righe o due colonne il determinante cambia segno, ma il valore assoluto è lo stesso: se era diverso da zero, diverso da zero rimane.
Se moltiplichi una riga o una colonna di $A$ per uno scalare $alpha ne 0$, il nuovo determinante è uguale a quello di $A$ moltiplicato per $alpha$: se era diverso da zero, diverso da zero rimane.
Se sostituisci una riga o una colonna con la somma di questa riga e di un'altra moltiplicata per uno scalare il determinante non cambia. Infatti in generale, indicando con \(\mathbf{A}_i\) la $i$-esima riga o colonna di \(\mathbf{A}\),
\[\det(\mathbf{A}_1,\dots,\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y},\dots,\mathbf{A}_n)
=\alpha\det(\mathbf{A}_1,\dots,\mathbf{x},\dots,\mathbf{A}_n)
+\beta(\mathbf{A}_1,\dots,\mathbf{y},\dots,\mathbf{A}_n)
\]Nel nostro caso, in cui la $i$-esima riga/colonna viene sostituita dalla sua somma con la $j$-esima moltiplicata per $alpha$:
\[\begin{align*}\det(\mathbf{A}_1,\dots,\mathbf{A}_i+\alpha\mathbf{A}_j,\dots,\mathbf{A}_j,\dots,\mathbf{A}_n) &= \det(\mathbf{A}_1,\dots,\mathbf{A}_i,\dots,\mathbf{A}_j,\dots,\mathbf{A}_n) \\
&+\alpha\det(\mathbf{A}_1,\dots,\mathbf{A}_j,\dots,\mathbf{A}_j,\dots,\mathbf{A}_n)\\
&=\det(\mathbf{A})+0\end{align*}\]perché il secondo determinante, avendo due righe/colonne uguali, è nullo.
La ringrazio per la risposta signor Sergio. Dei risultati che ha scritto sono a conoscenza, il problema è sfruttarli nella dimostrazione che due matrici equivalente hanno lo stesso rango. Per quanto riguarda la moltiplicazione di uno scalare per una riga o per una colonna la dimostrazione non è difficile. Ma quando si tratta di scambiare due righe o due colonne le cose si complicano e ci sono 2 casi in cui le cose sono semplici ed uno a cui mi blocco:
A è la matrice mxn da cui partiamo e B è la matrice mxn che otteniamo, ad esempio, scambiando due righe. Per dimostrare che il rango non cambia possiamo pensare di dimostrare che il determinante di ogni sottomatrice di A, nello scambio di righe, se è nullo tale rimane, se non lo è non diventa nullo. Allora può accadere che
a) Le righe scambiate non appartengono alla sottomatrice, ed allora essa è identica alla sua controparte in A.
b) Entrambe le righe scambiate appartengono alla sottomatrice, ed allora lo scambio conserva il valore assoluto del determinante.
c)1 sola delle due righe scambiate appartiene alla sottomatrice.
Il caso c) non sono riuscito a dimostrarlo senza chiamare in gioco sistemi lineari e applicazioni lineari, spazi vettoriali.
Una volta dimostrato c) allora è facile dimostrare che anche l'ultimo tipo di operazione elementare non varia il rango. Anche in questo caso ci sono 3 casi:
a') La riga modificata non appartiene alla sottomatrice, che risulta pertanto invariata.
b')Entrambe le righe, quella modificata e quella il cui multiplo è stato sommato alla prima, appartengono alla sottomatrice. Allora il determinante non varia per il risultato da lei dimostrato.
c')Soltanto la riga che viene modificata appartiene alla sottomatrice. Se la c) è stata dimostrata, allora possiamo applicare il teorema che dice che:
A,A' e A'' sono 3 matrici uguali in tutto tranne che per la riga i-esima e tali per cui la riga i-esima di A'' è ottenuta sommando le righe i-esime di A e di A'. Allora il determinante di A'' si può ottenere come somma del determinante di A e di A'.
Questo teorema ci aiuta a dimostrare c') poiché possiamo considerare la matrice A, la matrice B ottenuta dopo aver sommato $ lambda $Rj ad Ri ed una terza matrice ottenuta da A scambiando la riga che è stata sommata (Rj) con quella che ha subito la modifica (Ri) e poi moltiplicando Rj ( che ora è la riga i-esima) per lo scalare usato nell'operazione, matrice che chiamiamo C.
Con queste premesse, possiamo considerare la sottomatrice del punto c') come somma delle rispettive sottomatrici di A e di C, pertanto possiamo calcolare il determinante di tale sottomatrice sommando i determinanti delle altre 2.Allora, per quanto dimostrato in precedenza, deve accadere che le sottomatrici corrispondenti di A e di C o hanno determinante entrambe nullo, oppure hanno determinante non nullo ed uguale in modulo (il che significa che, poiché $ lambda $ è arbitrario, in generale la somma non si annulla).
Purtroppo il punto c) non riesco a dimostrarlo.
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Mi dispiace di star facendo spendere così tanto tempo su quella che alla fine è una mera curiosità. Da un altro punto di vista, se tale dimostrazione non si rivelasse semplice, allora il libro di testo che sto utilizzando vedrebbe la sua "catena logica" spezzata, che mi sembra invece un problema abbastanza grave.