Re: Dimostrazione riguardante il rango di due matrici equivalenti

Messaggioda GN00Fu » 16/04/2020, 18:18

Sergio ha scritto:
GN00Fu ha scritto:Ho dato un'occhiata alle matrici elementari (di Gauss, secondo Wikipedia), mi chiedevo se per dimostrare l'equivalenza con le operazioni elementari l'unica strada fosse per "forza bruta", mostrando che il risultato è identico, oppure se ci fosse qualche altra maniera più rapida.

Puoi sempre ricorrere alla formuletta del prodotto tra matrici: se $EA=B$, allora $b_{rc}=\sum_k e_{rk}a_{kc}$.
Per lo scambio delle prima e seconda riga la matrice elementare $E$ è uguale alla matrice identità $I$ con le due righe scambiate: $b_{1c}=\sum_k e_{1k}a_{kc}=\sum_k i_{2k}a_{kc}$, quindi la prima riga di $B$ è costituita dai prodotti di $(0,1,0,0,...)$ per le colonne di $A$, è cioè uguale alla seconda riga di $A$. Ecc.


Fantastico, grazie.

Sergio ha scritto:
GN00Fu ha scritto:Invece che le matrici abbiano rango pieno mi sembra abbastanza ovvio alla fin fine (oppure no?). Potresti darmi qualche spunto per il terzo punto?

Se sai già che $"rango"(EA) <= "rango"(E)$ e $"rango"(EA) <= "rango"(A)$, si fa presto: se $E$ è quadrata e a rango pieno, quindi invertibile, hai $"rango"(EA) >= "rango"(E^{-1}EA) = "rango"(A)$, quindi $"rango"(EA)="rango"(A)$.

Se non lo sai già, ci arrivi presto ragionando sulle immagini. Ad esempio $"Im"(EA) sub "Im"(E)$ in quanto per ogni $v in "Im"(EA)$ si ha $EAv=E(Av) sub "Im"(E)$.


Purtroppo non ho a disposizione nè l'imm di una matrice nè quei risultati sul rango. Come scrivevo in altre risposte, vorrei seguire il percorso demarcato dal particolare libro che sto utilizzando, il che significa che per dimostrare il teorema non ho a disposizione nient'altro se non la definizione di determinante, le sue proprietà di base e la definizione di rango. Le applicazioni lineari non sono collegate alle matrici se non molto dopo. Ci deve essere una maniera per farlo se l'autore ha ritenuto di organizzare così il testo, ma sto perdendo lo speranze.
GN00Fu
New Member
New Member
 
Messaggio: 9 di 64
Iscritto il: 08/04/2020, 21:48

Re: Dimostrazione riguardante il rango di due matrici equivalenti

Messaggioda GN00Fu » 16/04/2020, 22:23

Sergio ha scritto:Determinanti?
Data una matrice quadrata $A$, se scambi due righe o due colonne il determinante cambia segno, ma il valore assoluto è lo stesso: se era diverso da zero, diverso da zero rimane.
Se moltiplichi una riga o una colonna di $A$ per uno scalare $alpha ne 0$, il nuovo determinante è uguale a quello di $A$ moltiplicato per $alpha$: se era diverso da zero, diverso da zero rimane.
Se sostituisci una riga o una colonna con la somma di questa riga e di un'altra moltiplicata per uno scalare il determinante non cambia. Infatti in generale, indicando con \(\mathbf{A}_i\) la $i$-esima riga o colonna di \(\mathbf{A}\),
\[\det(\mathbf{A}_1,\dots,\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y},\dots,\mathbf{A}_n)
=\alpha\det(\mathbf{A}_1,\dots,\mathbf{x},\dots,\mathbf{A}_n)
+\beta(\mathbf{A}_1,\dots,\mathbf{y},\dots,\mathbf{A}_n)
\]Nel nostro caso, in cui la $i$-esima riga/colonna viene sostituita dalla sua somma con la $j$-esima moltiplicata per $alpha$:
\[\begin{align*}\det(\mathbf{A}_1,\dots,\mathbf{A}_i+\alpha\mathbf{A}_j,\dots,\mathbf{A}_j,\dots,\mathbf{A}_n) &= \det(\mathbf{A}_1,\dots,\mathbf{A}_i,\dots,\mathbf{A}_j,\dots,\mathbf{A}_n) \\
&+\alpha\det(\mathbf{A}_1,\dots,\mathbf{A}_j,\dots,\mathbf{A}_j,\dots,\mathbf{A}_n)\\
&=\det(\mathbf{A})+0\end{align*}\]perché il secondo determinante, avendo due righe/colonne uguali, è nullo.


La ringrazio per la risposta signor Sergio. Dei risultati che ha scritto sono a conoscenza, il problema è sfruttarli nella dimostrazione che due matrici equivalente hanno lo stesso rango. Per quanto riguarda la moltiplicazione di uno scalare per una riga o per una colonna la dimostrazione non è difficile. Ma quando si tratta di scambiare due righe o due colonne le cose si complicano e ci sono 2 casi in cui le cose sono semplici ed uno a cui mi blocco:

A è la matrice mxn da cui partiamo e B è la matrice mxn che otteniamo, ad esempio, scambiando due righe. Per dimostrare che il rango non cambia possiamo pensare di dimostrare che il determinante di ogni sottomatrice di A, nello scambio di righe, se è nullo tale rimane, se non lo è non diventa nullo. Allora può accadere che

a) Le righe scambiate non appartengono alla sottomatrice, ed allora essa è identica alla sua controparte in A.
b) Entrambe le righe scambiate appartengono alla sottomatrice, ed allora lo scambio conserva il valore assoluto del determinante.
c)1 sola delle due righe scambiate appartiene alla sottomatrice.

Il caso c) non sono riuscito a dimostrarlo senza chiamare in gioco sistemi lineari e applicazioni lineari, spazi vettoriali.

Una volta dimostrato c) allora è facile dimostrare che anche l'ultimo tipo di operazione elementare non varia il rango. Anche in questo caso ci sono 3 casi:

a') La riga modificata non appartiene alla sottomatrice, che risulta pertanto invariata.
b')Entrambe le righe, quella modificata e quella il cui multiplo è stato sommato alla prima, appartengono alla sottomatrice. Allora il determinante non varia per il risultato da lei dimostrato.
c')Soltanto la riga che viene modificata appartiene alla sottomatrice. Se la c) è stata dimostrata, allora possiamo applicare il teorema che dice che:

A,A' e A'' sono 3 matrici uguali in tutto tranne che per la riga i-esima e tali per cui la riga i-esima di A'' è ottenuta sommando le righe i-esime di A e di A'. Allora il determinante di A'' si può ottenere come somma del determinante di A e di A'.

Questo teorema ci aiuta a dimostrare c') poiché possiamo considerare la matrice A, la matrice B ottenuta dopo aver sommato $ lambda $Rj ad Ri ed una terza matrice ottenuta da A scambiando la riga che è stata sommata (Rj) con quella che ha subito la modifica (Ri) e poi moltiplicando Rj ( che ora è la riga i-esima) per lo scalare usato nell'operazione, matrice che chiamiamo C.
Con queste premesse, possiamo considerare la sottomatrice del punto c') come somma delle rispettive sottomatrici di A e di C, pertanto possiamo calcolare il determinante di tale sottomatrice sommando i determinanti delle altre 2.Allora, per quanto dimostrato in precedenza, deve accadere che le sottomatrici corrispondenti di A e di C o hanno determinante entrambe nullo, oppure hanno determinante non nullo ed uguale in modulo (il che significa che, poiché $ lambda $ è arbitrario, in generale la somma non si annulla).

Purtroppo il punto c) non riesco a dimostrarlo.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Mi dispiace di star facendo spendere così tanto tempo su quella che alla fine è una mera curiosità. Da un altro punto di vista, se tale dimostrazione non si rivelasse semplice, allora il libro di testo che sto utilizzando vedrebbe la sua "catena logica" spezzata, che mi sembra invece un problema abbastanza grave.
GN00Fu
New Member
New Member
 
Messaggio: 10 di 64
Iscritto il: 08/04/2020, 21:48

Re: Dimostrazione riguardante il rango di due matrici equivalenti

Messaggioda axpgn » 16/04/2020, 23:24

@GN00Fu
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Sinceramente, vederti sprecare così tanto tempo, mi dispiace.
Nel primo link che ti ho postato, si dimostra l'equivalenza tra sistemi lineari trasformati mediante le operazioni di Gauss.
Nelle pagina successiva, si ripete la stessa dimostrazione per le matrici.
Dieci minuti al massimo per le due pagine e sei a posto.
IMHO
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 15349 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Re: Dimostrazione riguardante il rango di due matrici equivalenti

Messaggioda GN00Fu » 17/04/2020, 09:32

Vi ringrazio per l'aiuto, seguirò una delle strade alternative che mi avete proposto.
GN00Fu
New Member
New Member
 
Messaggio: 11 di 64
Iscritto il: 08/04/2020, 21:48

Re: Dimostrazione riguardante il rango di due matrici equivalenti

Messaggioda GN00Fu » 17/04/2020, 22:17

Sergio ha scritto:Ok, il dubbio va sciolto e ti propongo l'idea che mi sono fatto.

Ragionare di minori in materia di rango vuol dire applicare il teorema di Kronecker, detto anche teorema degli orlati. Questo teorema non considera solo i minori, ma i loro orlati.
Prima considerazione: i minori non servono se la matrice è a rango pieno. In questo caso ti devi basare sul fatto che scambiando due righe il determinante cambia segno e non si annulla. Ragioniamo quindi su una matrice di ordine $n$ e di rango $k<n$.
Se $k=n-1$, devi considerare l'unico orlato di ordine $n$, cioè tutta la matrice. E anche in questo caso vale il fatto che se il determinante era zero tale rimane se scambi due righe.
Se $k=n-2$, devi trovare un minore di ordine $k$ diverso da zero (il determinante una sottomatrice di ordine $k$ a rango pieno). Due casi:
a) trovi una sottomatrice che non comprende le due righe scambiate: non cambia nulla, perché tutti i minori di ordine $k+1$ devono essere nulli, devi cioè aggiungere alla tua sottomatrice sia l'una che l'altra delle righe scambiate per applicare il teorema di Kronecker;
b) trovi una sottomatrice che ne comprende solo una: siamo sempre lì: tutti i minori di ordine $k+1$ devono essere nulli, devi aggiungere alla tua sottomatrice anche gli elementi dell'altra riga.
c) trovi una sottomatrice che comprende entrambe le righe scambiate: se il minore era diverso da zero nella matrice originaria, tale rimane dopo aver scambiato due righe; se gli orlati erano nulli/non nulli, tali rimangono per lo stesso motivo.
Alla fine, tutto si risolve in una noiosa ripetuta applicazione del teorema secondo cui scambiando due righe il determinante non cambia.


Non sono sicuro che le cose siano così semplici. Ad esempio considerando il caso k= n-1:

Con A indichiamo la matrice prima dello scambio e con B la matrice a scambio avvenuto. Poniamoci nella condizione in cui soltanto 1 delle 4 sottomatrici di ordine n-1 abbia determinante diverso da zero e che lo scambio coinvolge l'unica riga che tale sottomatrice esclude. Certamente è vero che, se prima dello scambio la matrice nella sua interezza avesse determinante pari a 0, allora anche dopo lo scambio la matrice ha ancora determinante nullo. D'altra parte questo ci dice soltanto che la matrice dopo lo scambio ha rango < n. Non sappiamo, d'altra parte, se dopo lo scambio la sottomatrice ha ancora determinante diverso da 0 e pertanto il rango potrebbe essere variato.

Oppure mi sbaglio?
GN00Fu
New Member
New Member
 
Messaggio: 13 di 64
Iscritto il: 08/04/2020, 21:48

Re: Dimostrazione riguardante il rango di due matrici equivalenti

Messaggioda GN00Fu » 18/04/2020, 11:16

Sergio ha scritto:Se ho capito bene vuoi dire che se prendo le prime due righe e colonne di $A$ ottengo un minore non nullo, ma se faccio la stessa cosa con $B$ ottengo un minore nullo. Vero, ma basta che "inseguo" (licenza poetica) la riga che si è mossa: da $B$ scelgo la prima e la terza riga, le prime due colonne e non cambia nulla.
In altri termini, è vero che non avevo considerato questo caso (faccio un po' fatica a seguire percorsi tortuosi quando esiste una dimostrazione maledettamente più semplice), ma scambiare due righe non pregiudica la possibilità di trovare l'unico minore di ordine $n-1$ non nullo.


Diamine se hai ragione, puoi sempre ricostruire una sottomatrice con le stesse righe. Continuavo a tentare con la "sottomatrice corrispondente", invece posso ricostruire quella che avevo in partenza. Fantastico. Grazie mille Sergio. :D :D
GN00Fu
New Member
New Member
 
Messaggio: 14 di 64
Iscritto il: 08/04/2020, 21:48

Re: Dimostrazione riguardante il rango di due matrici equivalenti

Messaggioda ferrino » 20/06/2023, 04:07

La dimostrazione va corretta sostituendo nel testo l la frase "ogni minore di B è un minore di A oppure è ottenuto permutando due righe della matrice di un minore di A" con la frase "ogni minore di B è un minore di A oppure è ottenuto con un numero finito di scambi di righe della matrice di un minore di A (a meno del segno)"
ferrino
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 1 di 1
Iscritto il: 20/06/2023, 03:11

Precedente

Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Google [Bot] e 1 ospite