Esercizio endomorfismo e punti fissi

[MissBabbage]

Dato un endomorfismo $F(x_1,x_2,x_3)=(-1/2x_1 - \sqrt{3}/2 x_2 +1/2, - \sqrt{3}/2 x_1 +1/2 x_2 +\sqrt{3}/6, -x_3)$, si determini l'insieme S dei punti fissi da F: è un sottospazio affine o vettoriale? di quale dimensione?

Allora, chiamata A la matrice associata all'endomorfismo, io pensavo di svolgerlo risolvendo $(A-Id)v=0$

\begin{equation*}
A =
\left(\begin{array}{cc} -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ -\sqrt{3}/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right)
\end{equation*}

\begin{equation*}
(A-Id)v =
\left(\begin{array}{cc} -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ -\sqrt{3}/2 & -1/2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)
=0
\end{equation*}

Perciò ottengo l'insieme dei vettori della forma :
\begin{equation*}
\left(\begin{array}{c} t \\ -\sqrt{3}t \\ 0 \end{array}\right)
\end{equation*}
con $t\inR$
è corretto fin qui? Se si, poi come continuo?

Inoltre mi chiede anche di descrivere geometricamente l'applicazione F, cosa si intende?
Io ho scritto questo ma non so se è giusto o abbastanza rigoroso/esplicativo:
L'endomorfismo F risulta essere ortogonale, simmetrico e di conseguenza anche diagonalizzabile.
Il fatto che sia ortogonale , ci indica che è fa parte di un gruppo ortogonale O(n), cioè il gruppo delle matrici invertibili, e quindi individua un'isometria, di conseguenza in questa applicazione vengono preservate le distanze.
Inoltre risulta essere simmetrica, di conseguenza abbiamo che $A^t=A$, in particolare essendo una matrice ortogonale abbiamo che $A^t=A^-1$.

Grazie in anticipo!!

[gugo82]

Ma la $F$ non è lineare… Che endomorfismo vuoi che sia?

[Butterman]

Giusto, scusate è che l'esercizio è più lungo e parla anche di un endomorfismo e mi sono confusa, lasciando perdere questo refuso, come trovo l'insieme dei punti fissati da F?

[gugo82]

Moderatore: gugo82

Quando una domanda è posta da un account e mi risponde un altro account, mi preoccupo.
Vedi Regolamento, 2.5.

In attesa di chiarimenti, chiudo.

Moderatore: gugo82

Ottenuti i dovuti chiarimenti, riapro.