Mostrare che il quoziente $O(n,\mathbb{R})$/$O(n−1,\mathbb{R})$ è omeomorfo a $\mathbb{S}^(n-1)$.
Pensavo a questo:
Il gruppo ortogonale agisce in modo naturale sulla sfera. Esiste un'applicazione continua $α: O(n)× \mathbb{S}^(n-1)\mapsto \mathbb{S}^(n-1)$ tale che, $\forall X\in O(n)$, l'applicazione $α(X,.): \mathbb{S}^(n-1) \mapsto \mathbb{S}^(n-1)$ è un omeomorfismo e, $\forall X,Y \in O(n)$ ho:
$α(Y, α(X,.)) = α(Y X,.)$.
L'azione è transitiva: $\forall P, Q \in \mathbb{S}^(n-1)$ $\exists X\in O(n)$ tale che:
$α(X, P) = Q$. Lo stabilizzatore di un punto $P\in \mathbb{S}^(n-1)$ è isomorfo a $O(n−1)$: $\forall P\in \mathbb{S}^(n-1)$, ho:
${X\in O(n) : α(X,P) = P} \cong O(n−1)$
Ora non so come andare avanti e arrivare alla conclusione.
