Omeomorfismi

Messaggioda Twister_ » 21/04/2020, 15:15

Ciao a tutti, vi ringrazio in anticipo per il vostro tempo. Sto cercando di svolgere questo esercizio sugli omeomorfismi, ma non so come muovermi.

Su $RR$ siano $tau$ e $mu$ due topologie così definite:

  • $tau$ è la famiglia costituita da tutti i sottoinsiemi $A sube RR $ nei quali per ogni $ x in A $ esiste $ y > x$ tale che $[x,y[ sube A $;

  • $mu$ è la famiglia di sottoinsiemi $V sube RR$ per i quali per ogni $ y in V$ esiste $x < y $ tale che $]x,y] sube V$.

Provare che tali spazi sono omeomorfi.


Non riesco a trovare una funzione che mi permetta di raggiungere tale scopo. L'unica idea che mi è venuta è di lavorare sulle basi, rispettivamente formate dagli intervalli $ [a,b[$ e $]a,b] $ tramite la funzione $ f(x)=b-x+a $ ma non h idea di come considerarla su tutto $RR$.

Ringrazio chiunque abbia voglia di darmi una mano
Ultima modifica di gugo82 il 21/04/2020, 15:58, modificato 1 volta in totale.
Motivazione: Sistemate le formule ed il testo.
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Omeomorfismi e basi

Messaggioda Twister_ » 23/04/2020, 10:12

Ciao!
Avrei solo bisogno di un chiarimento teorico.

Dati due spazi topologici è possibile, dimostrando l'esistenza di un omeomorfismo tra generici elementi delle due basi, generalizzare affermando che anche gli spazi stessi sono omeomorfi?

Grazie mille
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Re: Omeomorfismi

Messaggioda Twister_ » 26/04/2020, 09:01

Rimando la risposta risposta perché unisco un ulteriore domanda. Quindi rivolgendomi ai moderatori, potreste cancellare la prima copia? Grazie

Ti ringrazio innanzitutto per la risposta.

Sono riuscita a intuire quello che mi suggerisci di fare. Ma la funzione che ho trovato coinvolge gli estremi dell'intervallo per far si che il punto si "ribalti" (che a differenza di quella che ho scritto all'inizio dilata anche l'intervallo) . Ma ovviamente così facendo non ottengo una biezione da $ RR in RR $ ma da $ [a, b) a (c, d] $.

Oppure basta provare l'omeomorfismo tra due generici elementi della base per stabilire che sono omeomorfi? In caso contrario, avresti suggerimenti su come proseguire? Grazie mille
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Messaggioda j18eos » 26/04/2020, 10:39

@Twister_ In altre parole: hai definito la topologia di Sorgenfrey... molto carina; e segui l'indizio di arnett ;)
Ultima modifica di j18eos il 27/04/2020, 21:26, modificato 1 volta in totale.
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Re: Omeomorfismi

Messaggioda Twister_ » 26/04/2020, 16:13

Infatti la funzione che ho trovato associa ad x:

$ f(x) = d + (c-d) / (b-a) (x-a) $

Ma vale per gli intervalli $ (a, b] $ e $[c, d)$ , che pur essendo arbitrari elementi delle basi, non mi forniscono una mappa da $ RR $ in $ RR $. Come mi è possibile generalizzarla?

Grazie mille
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Re:

Messaggioda dissonance » 27/04/2020, 11:15

j18eos ha scritto: l'indicio

Questo potrebbe essere latino o spagnolo :-)
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Messaggioda j18eos » 27/04/2020, 21:26

Non me n'ero proprio accorto :lol:
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Re: Omeomorfismi

Messaggioda Twister_ » 13/05/2020, 11:34

Grazie mille a tutti. Effettivamente @arnett stavo cercando inutilmente qualcosa di molto più complicato.

Posto nuovamente qui perché ho un quesito riguardante sempre gli omeomorfismi. Il testo enuncia:

Sia $X=ZZ$ dotato della topologia $\tau$$= {A \subset X | 0∉A $ oppure $X \backslash A $ è finito $}$ e
$Y = {0} \cup { 1/k \in RR | k \in ZZ\backslash {0}}$ dotato della topologia indotta da quella euclidea.
Provare che $X$ e $Y$ sono omeomorfi



Ho pensato subito alla funzione $f: X \rightarrow Y$ definita da $f(x)=1/x$ e $f(0)=0$. Solo che ora ho difficoltà a dimostrare che questa funzione è effettivamente un omeomorfismo (se lo è). Per dimostrarne la continuità definisco le basi formate dai singoletti? O consigliereste altro, come funzioni o procedimenti?

Grazie mille in anticipo per l’aiuto
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Messaggioda j18eos » 14/05/2020, 09:05

Sarebbe meglio aprire un nuovo thread. ;)
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Re: Omeomorfismi

Messaggioda Twister_ » 14/05/2020, 09:12

Lo posto subito come nuovo argomento, grazie
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