distanza tra rette

[Butterman]

Ciao a tutti!
Vorrei sapere se svolgo questo esercizio nella maniera corretta:
Ho due rette sghembe r e s, devo determinare un punto su r che realizza la minima distanza tra esse.

Le rette sono:
\begin{equation*}r:
\begin{cases}
x=t \\
y=t \\
z=1-2t
\end{cases}
s:
\begin{cases}
x=1+s \\
y=s \\
z=s
\end{cases}
\end{equation*}

Calcolo determinante tra i vettori direttori:
\begin{equation*}
\begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1\end{vmatrix} = i-2j+k-k+2i-j= 3i-3j
\end{equation*}

Calcolo: $(t-1-s) / 3 = (t-s) / -3 = 0$ e metto a sistema ottenendo i valori di $t=-1$ e $s=0$
Sostituisco nelle equazioni delle rette e trovo il punto $P(-1,-1,3)\in r$ e $Q(1,0,0)\in s$
Il punto cercato è appunto P, giusto??

Inoltre se avessi un punto generico N(x,y,z) e volessi trovare l'espressione della distanza tra P e s, basta fare lo stesso procedimento fatto per trovare P e Q ma con N, e poi calcolare la distanza punto punto, giusto?

Grazie mille!

[anonymous_0b37e9]

Scusa ma, non è sostanzialmente lo stesso esercizio svolto nella discussione sottostante?

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 1#p8459905

[Butterman]

No, è un'altra domanda, lo svolgimento è lo stesso, ma la domanda cambia. Sai rispondermi?

[Butterman]

La difficoltà maggiore la trovo nel trovare l'espressione della distanza d(N,s) dove N è un punto generico (x,y,z). Poiché questo procedimento implica di avere due vettori direttore e quindi due rette, ma io invece ho solo una retta e un punto. Grazie in anticipo della risposta.

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda la prima parte dell'esercizio si può procedere come nell'altra discussione:

$r: \{(x=t),(y=t),(z=-2t+1):} ^^ s: \{(x=s+1),(y=s),(z=s):}$

$|(veci,vecj,veck),(1,1,-2),(1,1,1)|=3veci-3vecj$

$(t-s-1)/3=(t-s)/-3=(-2t+1-s)/0 rarr \{(2t-2s-1=0),(-2t+1-s=0):} rarr \{(t=1/2),(s=0):}$

$P(1/2,1/2,0) in r ^^ Q(1,0,0) in s$

Tuttavia, per un qualche motivo, la tua soluzione non è corretta. Mi limito a farti osservare che, nel passaggio sottostante:

$(t-s-1)/3=(t-s)/-3=(-2t+1-s)/0$

poiché, a differenza dell'altra discussione, un denominatore si annulla, la seconda equazione si ottiene imponendo che il numeratore della medesima frazione si annulli:

$-2t+1-s=0$

Insomma, non vorrei che proprio questo ti avesse indotto in errore.

P.S.
Per quanto riguarda la seconda parte dell'esercizio, se ho capito bene, vorresti determinare la distanza di un generico punto $P(barx,bary,barz)$ dello spazio dalla retta $s$ in funzione di $barx$, $bary$ e $barz$. Meglio se mi dai una conferma.

[Butterman]

Si esatto, ti ringrazio

[anonymous_0b37e9]

Passo 1

Determinare l'equazione del piano passante per:

$P(barx,bary,barz)$

e perpendicolare a:

$s: \{(x=s+1),(y=s),(z=s):}$

Svolgimento

$1*(x-barx)+1*(y-bary)+1*(z-barz)=0 rarr$

$rarr x+y+z-barx-bary-barz=0$

Passo 2

Determinare il punto $Q$ di intersezione del suddetto piano con la retta $s$.

Svolgimento

$x+y+z-barx-bary-barz=0 ^^ \{(x=s+1),(y=s),(z=s):} rarr$

$rarr s+1+s+s-barx-bary-barz=0 rarr$

$rarr s=(barx+bary+barz-1)/3 rarr$

$rarr Q((barx+bary+barz+2)/3,(barx+bary+barz-1)/3,(barx+bary+barz-1)/3)$

Passo 3

Determinare la distanza $barPQ$.

Svolgimento

$bar(PQ)=sqrt((barx-(barx+bary+barz+2)/3)^2+(bary-(barx+bary+barz-1)/3)^2+(barz-(barx+bary+barz-1)/3)^2)$