Grafo di Cayley

[3m0o]

Mi si chiede di trovare una presentazione del gruppo dei quaternioni \( \mathbf{Q}_8 \) e di disegnare il grafo di Cayley.
Le soluzioni mi dicono che prendono in considerazione la presentazione
\[ \left< \ell, i ,j ,k | \ell^2,i^2\ell,j^2\ell,k^2\ell, ijk\ell \right> \]
e non capisco come la trovi. Con questa presentazione io ho disegnato il seguente grafo di Cayley ma non so se è giusto. Siccome ci sono 4 generatori abbiamo 4 colori. Nella foto il rosso rappresenta moltiplicare a destra per \(i \), il verde a destra per \(j \), il nero a destra per \(k \) e il blu a destra per \( \ell \). L'immagine nello spoiler.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

immagine

Mi chiedevo se fosse giusto.

La cosa che mi turba è che wikipedia prende un'altra presentazione https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion_group
Ma utilizza solo due colori, e non capisco perché. I generatori sono 4 non 2..

[j18eos]

...e certo che i generatori sono \(\displaystyle2\): qual è la tabella moltiplicativa dei quaternioni?

[3m0o]

Ma wikipedia mi dice che prende in considerazione la rappresentazione
\[ \mathrm{Q}_8 = \langle \bar{e},i,j,k \mid \bar{e}^2 = e, \;i^2 = j^2 = k^2 = ijk = \bar{e} \rangle \]
e quindi prende 4 generatori non 2.

[j18eos]

Senza che tu scenda più giù in quella pagina: \(\displaystyle e\) come lo puoi esprimere in funzione di \(\displaystyle i\) e \(\displaystyle j\)?

[3m0o]

Se non sbaglio posso esprimerlo come \( i^2 j^2 = \bar{e} \bar{e} = \bar{e}^2 = e \).
Sono d'accordo che \( \mathrm{Q}_8 \) sia generato da \(i \) e da \(j \). Ma la definizione che ho io di grafo di Cayley dipende dalla rappresentazione scelta. Ed è la seguente
Sia \( S \) un insieme di generatori di \(G \) il grafo di Cayley \( \Gamma = \Gamma(G,S) \) è il grafo orientato e colorato i cui vertici sono gli elementi di \(G \) e una freccia di colore \(s \in S \) è parte da \(g \) e arriva a \( g \cdot s \).

Dunque se \( S= \{ s_1, \ldots, s_n \} \) sono dei generatori e \( R = r_1,\ldots ,r_m \) sono dei relatori abbiamo che il gruppo con presentazione \( G = \left< s_1,\ldots, s_n | r_1, \ldots, r_m \right> \), avrà un grafo di Cayley con \(n \) colori.
Sono d'accordo che il gruppo dei quaternioni con la seguente presentazione \( \mathrm{Q}_8 = \left< i, j | jij i^{-1}, ijij^{-1} \right> \) abbia quel grafo di Cayley, ma il gruppo dei quaternioni con la presentazione
\[ \mathrm{Q}_8 = \langle \bar{e},i,j,k \mid \bar{e}^2 = e, \;i^2 = j^2 = k^2 = ijk = \bar{e} \rangle \]
avrà un altro grafo di Cayley.

Inoltre non capisco proprio come il prof trova quell'altra presentazione dei quaternioni, e se quindi il grafo che ho disegnato rispetto alla presentazione del prof è corretta.

[j18eos]

Se non sbaglio posso esprimerlo come \( i^2 j^2 = \bar{e} \bar{e} = \bar{e}^2 = e \). [...]

Ci stiamo avvicinando: secondo la rappresentazione "grezza" \(\displaystyle i^2=j^2\), quindi...

[3m0o]

Se non sbaglio posso esprimerlo come \( i^2 j^2 = \bar{e} \bar{e} = \bar{e}^2 = e \). [...]

Ci stiamo avvicinando: secondo la rappresentazione "grezza" \(\displaystyle i^2=j^2\), quindi...

Beh \( i^2 j^{-2} = e \) ma anche \( i^2 j^2 = e \) perché \( \bar{e}^2 = e \) e pure anche \( i^4 = e \) e pure \(j^4=e \), come anche \( ijij^{-1} =e\) od ancora \(jiji^{-1} = e \). No?

A guardare il grafo di Cayley di wikipedia direi che è cosi insomma.

[j18eos]

Ecco: puoi usarne solo \(\displaystyle3\) di queste relazioni per rappresentare \(\displaystyle Q_8\)! O:-)

[3m0o]

Ti giuro, non sto capendo dove vuoi arrivare. Mi sembra che questa cosa non sia legata alla mia domanda. Nel senso che mi sembra tu mi stia parlando dei relatori, non dei generatori.
Se ho una presentazione
\[ \left< \bar{e}, i ,j, k | \text{bla bla} \right> \]
devo avere 4 colori, mentre wiki ne usa due! Uno per ogni generatore. I generatori qui sono 4 con questa presentazione!
Se usasse la presentazione
\[ \left< i,j | \text{bla bla} \right> \]
allora va bene usare 2 colori!
Domanda 1: perché usa 2 colori nonostante mi dice che fa riferimento alla presentazione
\[ \left< \bar{e}, i ,j, k | \text{bla bla} \right> \]

Domanda 2:come fa il prof a ricavare questa di presentazione? Con quale metodo?
\[ \left< \ell, i ,j ,k | \ell^2,i^2\ell,j^2\ell,k^2\ell, ijk\ell \right> \]
Domanda 3: con la presentazione del prof il mio grafo di Cayley è corretto?

[3m0o]

Prendi il gruppo ciclico di ordine \( 3 \). \( C_3 = \{ 1,g,g^2\} \) chiaramente può essere generato solo da \( g \) oppure solo da \(g^2 \). Infatti
\[ C_3 = \left< g | g^3 = 1 \right> \]
E in quel caso il grafo di Cayley ha un colore ed è un "cerchio" \( 1 \rightarrow g \rightarrow g^2 \rightarrow 1 \)
Mentre se scelgo la presentazione con due generatori
\[ C_3= \left< g ,g^2| g^3 = 1 \right> \]
ottengo un grafo di Cayley con 2 colori! Ovvero lo stesso "cerchio" ma con due freccie.
Le freccie (con un colore) che vuol dire moltiplicare a destra per \( \cdot g \)
\( 1 \rightarrow g \rightarrow g^2 \rightarrow 1 \)
E le freccie (con un altro colore) che vuol dire moltiplicare a destra per \( \cdot g^2 \)
\( 1 \leftarrow g \leftarrow g^2 \leftarrow 1 \)