Certo..
Quindi tutto quello che ho scritto modificando il post precedente è sbagliato. Resta sensato parlando degli aperti $ U$ definiti come sopra ma di certo non per tutte le altre singole classi.
Scusami per la confusione ma è un argomento che mi incasina sempre le idee, devo prenderci la mano.
Solo che a questo punto come giustifico la non esistenza di aperti disgiunti?
Potrei procedere affermando che non esistendo aperti di $1$ o $ 0$ in $RR$ che non intersecano $] 0,1[$, segue che ad esempio la classe $[1]$ non è un aperto in $X$.
Necessariamente allora, un qualsiasi aperto contenente tale classe contiene anche $p$.
In conclusione, $X$ non è di Hausdorff.
C'è ancora qualche buco nel ragionamento?
Davvero, grazie mille per la pazienza