Dubbio riguardo il concetto di base per uno spazio vettoriale

[giacomo24]

Ciao a tutti!
Ho un dubbio riguardo il concetto di base... In particolare non ho capito se la condizione di lineare indipendenza di un insieme di vettori è sufficiente a stabilire se questi sono oppure no una base per un certo spazio vettoriale. Inoltre non mi è chiaro come è necessario procedere per verificare che un certo insieme di vettori siano generatori di uno spazio vettoriale. Un insieme di vettori $ { v_1,v_2,...,v_k}sube V $ sono un insieme di generatori per $ V $ se ogni vettore $ w $ $ in V $ può essere scritto come combinazione lineare dei vettori $ v_1,v_2,...,v_k $, quindi mi basterebbe ridurre a scala la matrice completa di ordine $kxx h$ ponendo come vettore del termine noto il vettore $w={w_1,...,w_h}$ e verificando che il rango della matrice completa sia uguale a quello della matrice del sistema omogeneo associato, giusto? Esiste un metodo più rapido? Le mie perplessità sono dovute al fatto che provando a risolvere un esercizio nel quale mi veniva chiesto di decidere se un insieme di tre vettori fossero una base per lo spazio vettoriale $ mathbb(R)^3 $, questi pur risultando essere indipendenti e generatori, quest'ultima condizione verificata attraverso il procedimento descritto prima, non erano tuttavia una base per lo spazio $ mathbb(R)^3 $. Mi chiedevo dunque se il procedimento per la verifica che un insieme di vettori siano generatori per uno spazio vettoriale fosse corretto.

[axpgn]

Puoi postare un esempio concreto? Tre vettori (di dimensione tre) linearmente indipendenti sono sempre una base di $RR^3$

[giacomo24]

ciao e grazie per la risposta. L'esercizio in questione mi dava 3 vettori e mi chiedeva di decidere se questi fossero una base per $ mathbb(R)^3 $:

$u_1= | ( 2 ),( 5 ),( 0 ) | , u_2=|(3),(1),(2)|, u_3=|(1),(-4),(2)|$

I vettori dati non sono uno multiplo dell'altro e l'unica soluzione di $ alpha_1u_1+alpha_2u_2+alpha_3u_3=0$ è $alpha_1=alpha_2=alpha_3=0$, sono quindi linearmente indipendenti, giusto?

Tre vettori (di dimensione tre) linearmente indipendenti sono sempre una base di $ RR^3 $

in che senso tre vettori di dimensione tre? E quando posso dire attraverso la sola verifica della lineare indipendenza che un insieme di vettori è una base per uno spazio vettoriale?

Grazie in anticipo

[axpgn]

I vettori dati non sono uno multiplo dell'altro e l'unica soluzione di $ alpha_1u_1+alpha_2u_2+alpha_3u_3=0$ è $alpha_1=alpha_2=alpha_3=0$, sono quindi linearmente indipendenti, giusto?

No, non sono linearmente indipendenti (se non ho sbagliato i conti ); tu come hai fatto a stabilirlo?

... in che senso tre vettori di dimensione tre?

Beh, un vettore può essere una coppia di elementi, una terna, una quaterna, ecc. ... non va dato per scontato, va precisato

E quando posso dire attraverso la sola verifica della lineare indipendenza che un insieme di vettori è una base per uno spazio vettoriale?

Specifica meglio cosa intendi ...

Cordialmente, Alex

[j18eos]

A parte che un vettore (per definizione) è un elemento di uno spazio vettoriale...

Si ha che \(\displaystyle\underline{u}_1-\underline{u}_2+\underline{u}_3=\underline{0}\), quindi codesti vettori non sono l.i.!

[giacomo24]

No, non sono linearmente indipendenti (se non ho sbagliato i conti ); tu come hai fatto a stabilirlo?

Ho provato a risolvere

$alpha_1 ( ( 2 ),( 5 ),( 0 ) ) +alpha_2( ( 3),( 1 ),( 2 ) ) +alpha_3( ( 1 ),( -4 ),( 2) ) =( ( 0 ),( 0),( 0 ) ) $

e ho ottenuto, dopo aver ridotto a scala, il sistema

$ { ( 5alpha_1+alpha_2-4alpha_3=0 ),( 13alpha_2-3alpha_3=0 ),( 32alpha_3=0 ):} $

che ammette come unica soluzione $alpha_1=alpha_2=alpha_3=0$, ti risulta? Altrimenti devo aver sbagliato qualcosa, purtroppo sono alle prime armi

Specifica meglio cosa intendi ...

Intendo dire che, per definizione di base di uno spazio vettoriale generico $V$, dato un insieme di $k$ vettori, questi affinché possano costituire una base per $V$ devono essere linearmente indipendenti e devono essere generatori dello stesso. Quindi per essere considerati una base questi tre vettori $u_1, u_2, u_3$ devono soddisfare entrambe le condizioni, giusto? O è sufficiente che solamente una delle due sia verificata?

Grazie ancora per la pazienza.

[axpgn]

Purtroppo hai sbagliato i conti da qualche parte; mostraceli ...

O è sufficiente che solamente una delle due sia verificata?

Necessitano entrambe.
Se prendi una base e togli un vettore, quelli rimasti sono ancora l.i. ma non generano tutto lo spazio vettoriale del quale sono la base.
D'altro canto se prendi la stessa base e aggiungi un vettore creato come combinazione lineare della stessa base, generi lo stesso spazio vettoriale ma i vettori non sono più l.i.

[giacomo24]

mentre scrivevo i vari passaggi effettuati mi sono accorto di un errore di calcolo...Quindi sì, sono linearmente dipendenti.

Necessitano entrambe.

Dunque perché molte volte su vari forum mi è capitato di leggere che per verificare se un insieme di vettori è una base per uno spazio vettoriale è sufficiente verificare solamente la lineare indipendenza di questi? Non andrebbe verificato anche che i vettori siano oppure no generatori di quello spazio? Anche lei prima ha detto che " tre vettori (di dimensione tre) linearmente indipendenti sono sempre una base di $ mathbb(R) ^3 $"... è l'ultimo dubbio che mi attanaglia, poi non la disturbo più giuro .

Grazie ancora.

[axpgn]

Detto in modo informale:
quelle due condizioni necessitano entrambe ma poi esistono tanti teoremi che ti permettono di arrivare a certe conclusioni più velocemente.
Ragionare su casi concreti è più semplice.

[giacomo24]

grazie mille, credo di aver capito!