Un teorema su sistemi lineari equivalenti

[GN00Fu]

Salve a tutti,

sto cercando di dimostrare un teorema sui sistemi lineari equivalenti:

Due sistemi lineari compatibili sono equivalenti se e soltanto se le equazioni di uno sono combinazione lineare delle equazioni dell'altro.

Sono riuscito a dimostrare (almeno credo) che se è vera la seconda parte (le combinazioni lineari) allora è vera la prima (l'equivalenza dei sistemi). Purtroppo sto avendo difficoltà a fare l'inverso e non sono riuscito a trovar nulla cercando sul web (il che mi ha stupito). Se qualcuno riuscisse ad aiutarmi, gliene sarei estremamente grato

[solaàl]

Cosa significa "equivalenti"?

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Cosa significa "equivalenti"?

Ah scusatemi. Pensavo fosse una terminologia diffusa. Significa che condividono l'insieme delle soluzioni.

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Sono riuscito a dimostrare (almeno credo) che se è vera la seconda parte (le combinazioni lineari) allora è vera la prima (l'equivalenza dei sistemi). Purtroppo sto avendo difficoltà a fare l'inverso

Due sistemi equivalenti hanno matrici orlate equivalenti: dire che $Ax=a$ è un sistema equivalente a $Bx=b$ equivale a dire che le due matrici orlate $A|a$ e $B|b$ sono equivalenti.
Per ottenere una matrice $B|b$ da un'altra $A|b$ attraverso combinazioni lineari delle righe di questa, non devi fare altro che premoltiplicare $A|b$ per matrici elementari.
D'altra parte, due matrici qualsiasi $M$ e $N$ si dicono equivalenti per riga/colonna se e solo se sono ottenute attraverso pre/postmoltiplicazioni con matrici elementari: \(M\sim N \Leftrightarrow B=PAQ\), dove $P$ è il prodotto di matrici che effettuano operazioni elementari sulle righe, $Q$ è il prodotto di matrici che effettuano operazioni elementari sulle colonne. Se interessano solo operazioni per riga (combinazioni lineari delle righe) puoi porre $Q=I$.

Sergio grazie per la risposta.

Mi chiedevo se potessi approfondire un pò sul perché se le soluzioni di due sistemi lineari Ax = a e Bx = b sono le stesse allora le loro matrici orlate sono equivalenti. Purtroppo non mi è così ovvio. Grazie.