Base duale e delta di Kronecker

[mb7]

Salve a tutti,non riesco a capire la dimostrazione,o forse mi sembra non venga addirittura spiegata,del fatto che le forme lineari che costituiscono una base duale di uno spazio vettoriale duale devono soddisfare la condizione per cui la dualità canonica tra due elementi appartenenti rispettivamente alla base duale e ad un normale spazio vettoriale V,debba valere il cosidetto delta di Kronecker. Grazie

[gugo82]

Non credo si dimostri... Quella è la definizione di base duale.

[Pierlu11]

Dovresti dimostrare che è una base per lo spazio vettoriale duale ma questo viene fuori dall'isomorfismo naturale che costruisci facendo corrispondere ad ogni $v_i$ (vettore della base dello spazio di partenza) l'applicazione lineare $\alpha_i$ tale che
\[
\alpha_i(v_j)=\begin{cases}
1&i=j\\
0&i\neq j
\end{cases}
\]
Se verifichi che questo effettivamente è un isomorfismo (dimostrazione che penso tu abbia) hai che $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ costituiscono una base (gli isomorfismi mandano una base in una base).

[marco2132k]

Il punto è che parlare di “base duale” da sola non ha molto senso. Se \( \mathcal V =\{v_i\} \) è una base di \( V \), la sua duale \( \mathcal V^* =\{v_i^*\} \) la dai estendendo per linearità la funzione \( v_i^* \) che mappa \( 1 \) sul vettore di base \( v_i \), e \( 0 \) altrove. Se ti piace di più, i \( v_i^*\) mappano un vettore \( v \) nella sua coordinata \( i \)-esima nella base dei \( v_i \).

Un modo fancy per dire questo è "\( \left(v_i^*,v_j\right) = \delta_{ij} \)", come ti ha fatto notare @gugo82. Le parentesi tonde indicano la dualità canonica, che tu forse indichi con \( {\circ} \).

p.s. "L"'iso \(V\cong V^* \) non è naturale, è questo che volevo dire c:

[mb7]

ann,grazie ragazzi, allora sbagliavo dal punto di vista del ragionamento,nel senso che facevo l'inverso pensando di partire dal concetto di base arrivando a voler dimostrare che si otteneva Kroenecker,invece ora capisco che è grazie a kronecker che posso arrivare alla base,perfetto,perfetto, troppo gentili