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Ciao a tutti,

Sono in crisi con un esercizio di algebra lineare di cui posto direttamente l'immagine:



Io stavo svolgendo l'esercizio in questo modo:
Se $ v $ e $ w $ appartengono al nucleo devono essere uguali al vettore nullo e sfruttando la linearità della funzione dovrei poter scrivere

$ F(v) = F(e_1) - F(e_4) $ e $ F(w) = F(e_3) + F(e_4) $ , ma secondo il mio ragionamento, per $ v $ mi viene da dire che $ F(e_1) = F(e_4) $ e non $ F(e_1) = -F(e_4) $ come indicato nella soluzione dell'esercizio. Che cosa sto sbagliando?

Inoltre non ho capito come si può intuire che $ Im(F) $ ha dimensione 2 prima di costruire la matrice.

Grazie a chi avrà la pazienza di aiutarmi.

Non ho voglia di guardare quello che hai scritto, ma si fa così.

Se \( F\colon V\to W \) è lineare, dati \( v_1,v_2 \) di \( V \), hai che la differenza \( v_2 - v_1 \) appartiene al nucleo di \( F \) se e solo se \( F \) mappa uguale sui due vettori, eccioè se \( F(v_1) = F(v_2) \). Poi. Fissate una base \( \left\{v_1,\dots,v_n\right\} \) dello spazio di partenza e una "famiglia ordinata" \( \left\{w_1,\dots,w_n\right\} \) di vettori di \( W \), esiste per forza un'(unica) applicazione lineare \( F \) tale che \( F(v_i) = w_i \) per ogni \( i = 1,\dots,n \).

Quindi... Chi è "la base"? Chi sono "i vettori\( \,\in\ker F\, \)"?