Quesito teorico su determinante ed inversa

[Felix123321]

Salve, ho un quesito per la verifica dell'apprendimento. Il quale mi chiede:

Date A,B e C matrici quadrate di ordine 4 con i rispettivi determinanti= -2,10 e 3 calcolare
$det(-2(AB)^(-1))$ e $det(1/5 A^(-1) B^2 (C^t))$
Ho pensato subito al teorema di binet e alla proprietà del determinante, ma non riesco a capire cosa sbaglio in quanto il primo dovrebbe uscire $-4/5$ ed il secondo $-6/25$

[axpgn]

A te cosa viene?

[Felix123321]

Diciamo che non mi viene nulla in quanto nella traccia conosco il determinante, ma non ho la più pallida idea di come fare il prodotto matriciale e di conseguenza il suo inverso. Cioè so come si fa ma non avendo le matrici...

[axpgn]

Non capisco: hai un esercizio da fare e non conosci la teoria su cui si basa?
Eppure dici che conosci il teorema di Binet … strano … cosa dice quel teorema?
A dir la verità non lo conosco ma penso di sapere cosa dica … perché sostanzialmente ti basta per risolvere …
A me tornano tutti e due i risultati …
E non è necessario conoscere le matrici …

[Felix123321]

Sono certo che ci sia un elemento che non conosco o che mi sfugga e non capisco come risolvere l'esercizio. Ci sei riuscito,perfetto. Sei un genio, riesci ad affermare che non vi è bisogno di conoscere le matrici, ne ero sicuro.Difatti ho scritto di non conoscere le matrici per far capire che la mia conoscenza si basa su quel tipo di esercizi (e che sto ampliando adesso). Mi dispiace essere ignorante ed è per lo stesso motivo che studio per colmare il vuoto. Non sono certo che il teorema di binet risolva l'esercizio, è stata una deduzione giusta o sbagliata che sia. O più semplicemente non imposto nel modo corretto i calcoli.
Teorema di binet
Siano A e B due matrici quadrate con lo stesso numero di righe, a valori in un campo K.
Il determinante del prodotto tra A e B è il prodotto del determinante di A per il determinante di B:
$det ( A ⋅ B ) = det A ⋅ det B$

[gugo82]

@ Felix: Mostra i tuoi calcoli.

[Felix123321]

Ti ringrazio per la risposta,
Moltiplico $-2*10$ e successivamente lo inverto(prop. del determinante), ma il risultato del primo quesito è $-1/10$
Per il secondo quesito $1/5 *(-1/2)*100*(3)=-30$
Purtroppo questo è il calcolo che faccio

[axpgn]

Quando moltiplichi UNA riga di una matrice per un certo valore $a$, moltiplichi il determinante per quel valore $a$.
Ma se moltiplichi TUTTA la matrice per un certo valore $a$, significa che stai moltiplicando TUTTE le righe della matrice per il valore $a$.
Ok?

[gugo82]

Quello che sai è:

$det( k A) = k^n det (A)$ (multilinearità del determinante; $n$ è l’ordine di $A$)

$det(AB) = det(A)\ det(B)$ (teorema di Binet)

$det(A^(-1)) = (det(A))^(-1)$ (conseguenza del teorema di Binet)

Come le metti insieme queste cose per rispondere alla domanda?

[Felix123321]

Grazie mille, effettivamente mi sfuggiva l'elevamento a potenza dello scalare. Ci avevo pensato con il messaggio di tutte le matrici. Non è scritta palesemente come proprietà sul mio libro pertanto non ci ero arrivato