Risoluzione di un sistema lineare parametrico

[clara524]

Salve a tutti!
Ho qualche dubbio sulla risoluzione di un sistema lineare parametrico,o meglio, sulla discussione da fare previa la risoluzione del sistema. In particolare i miei dubbi sono partiti pensando come dovrei discutere un sistema formato da 5 equazioni e 3 incognite. In questo caso sia la matrice completa che quella incompleta associate al sistema sono rettangolari e non so come muovermi con il teorema di Rouchè-Capelli e il teorema dei minori orlati. Ho qualche idea in merito ma sono molto confusionarie. Purtroppo non ho un esercizio di questo genere a portata di mano. Scusatemi per il disturbo e grazie in anticipo per il vostro aiuto!

[gugo82]

Ho qualche dubbio sulla risoluzione di un sistema lineare parametrico, o meglio, sulla discussione da fare previa la risoluzione del sistema. In particolare i miei dubbi sono partiti pensando come dovrei discutere un sistema formato da 5 equazioni e 3 incognite. In questo caso sia la matrice completa che quella incompleta associate al sistema sono rettangolari e non so come muovermi con il teorema di Rouchè-Capelli e il teorema dei minori orlati. Ho qualche idea in merito ma sono molto confusionarie. Purtroppo non ho un esercizio di questo genere a portata di mano.

Hai pensato da solo "Chissà come si risolve un sistema di 5 equazioni in 3 incognite e col parametro?", senza avere nessun esercizio che ti chiedesse di pensare ad una cosa del genere.
Questo denota grande curiosità e una voglia di acquisire padronanza della materia... Qualità che si accrescono ancora di più inventando esempi ed esercizi.

Visto che mostri buona volontà, prova ad inventare un esercizio del genere ed a proporlo alla community.

[clara524]

Grazie mille! In effetti l'algebra lineare è un po' il mio tallone d'Achille e vorrei tanto colmare le mie lacune. Non ho mai provato ad inventare esercizi prima d'ora per evitare di avere risultati troppo "strani" e soprattutto perché non avrei modo di controllarne la correttezza...ma ci provo!
$\{(X-(\lambda+1)Y+2Z=3), (-X+Y+(\2lambda-1)Z=3\lambda),( 2X+Y+\lambdaZ=2),( -X+4Y-2Z=\lambda-1), (3X+4Y-2\lambdaZ=1-\lambda):}$
La ringrazio in anticipo!

[axpgn]

Conosci il metodo di Gauss?

[gugo82]

Beh, complimenti: fa schifissimo!

Ad ogni buon conto, comincia con la matrice dei coefficienti:

$A = ((1, -lambda - 1, 2), (-1, 1, 2lambda - 1), (2, 1, lambda), (-1, 4, -2), (3, 4, -2lambda))$

e calcolane il rango.
Si vede che il rango è $rho(A) >=2$ per ogni $lambda in RR$, poiché il $A_(23,12)=|(-1, 1), (2, 1)| = -3 != 0$; quindi basta orlare questo con gli unici tre minori $3 xx 3$ che puoi formare con le restanti righe/colonne di $A$.
Ognuno di questi minori è funzione di $lambda$ e si annullerà -eventualmente- per qualche valore del parametro.
Se esistono valori di $lambda$ che annullano tutti gli orlati $3 xx 3$, per quei valori hai $rho(A) = 2$; per gli altri valori hai $rho(A) = 3$.

Prova un po', poi vediamo cosa fare.


@ axpgn: Non so quanto convenga Gauss in questo caso... Il parametro presente in prima riga si propagherebbe in tutta la matrice già alla prima iterazione.
Tuttavia non ho fatto i conti; può darsi che venga semplice. Vuoi controllare?

[axpgn]

Beh, complimenti: fa schifissimo!

@ axpgn: Non so quanto convenga Gauss in questo caso... Il parametro presente in prima riga si propagherebbe in tutta la matrice già alla prima iterazione.

Sono pienamente d'accordo

Magari ci provo comunque ... sono convinto che Gauss vada sempre bene ( ) però ma quando ci sono parametri ...

Peraltro la mia era una domanda per capire cosa conosce l'OP ...

[axpgn]

Non viene poi così complicato

$((1, -4, 2),(0, 3, -1-2lambda),(0, 0, 1),(0, 0, 0),(0, 0, 0))$

Però non ci metto la mano sul fuoco (inoltre nei vari passaggi che ho fatto andrebbero discussi i valori che annullerebbero i coefficienti … e non velocissimo, diciamo così … )

[clara524]

Salve! Mi scuso per il ritardo nel rispondervi ma questa mattina ero piena zeppa di video lezioni. Mi scuso anche per aver inventato questo sistema bruttino ma mi sono basata,più o meno, sul genere di sistemi che il professore propone. Ho orlato con i minori $3x3$ che elenco:
$|(1,-\lambda-1,2),(-1,1,2\lambda-1),(2,1,\lambda)|$

$|(-1,1,2\lambda-1),(2,1,\lambda),(-1,4,-2)|$

$|(-1,1,2\lambda-1),(2,1,\lambda),(3,4,-2\lambda)|$

Dal primo minore, l'espressione in funzione di $\lambda$ che ho ottenuto, non è definita nell'insieme dei numeri reali.
I due minori successivi si annullano per $\lambda=3/21$ e per $\lambda=5/23$ e per questi valori ho il rango uguale a 2. Per $\lambda$ diverso da quei due valori, il rango della matrice è uguale a 3.
Però come procedo adesso, usando Rouchè-Capelli?

Conosci il metodo di Gauss?

Ciao! Conosco il metodo di Gauss però volevo provare a capire come risolvere questo esercizio senza far uso della riduzione a gradini anche perché ho delle insicurezze proprio riguardo al teorema di Rouchè-Capelli e al principio dei minori orlati. Sebbene li conosca, a volte non so come procedere davanti a un sistema.

[clara524]

Salve! Scusate la mia insistenza ma non sono riuscita ad arrivare ad una conclusione per la risoluzione di questo esercizio. Per poter stabilire se questo sistema ammette soluzioni e per sapere quante ne ammette, devo applicare Rouchè-Capelli e per farlo devo confrontare il rango della matrice incompleta con quello della matrice completa. Come faccio a fare questo confronto? Per calcolare il rango della matrice completa, devo orlare il minore di ordine 2, scelto inizialmente, con il vettore colonna dei termini noti e poi con una delle tre righe non comprese nel minore di ordine 2? questi nuovi minori sono funzione di λ e si annulleranno per qualche valore del parametro, giusto? Dopo aver fatto questo, come si prosegue?
Vi ringrazio anticipatamente e confido in una vostra risposta!