Compattezza in Q

[Twister_]

Ciao a tutti, vorrei porvi un esercizio sulla compattezza di un sottoinsieme di $QQ$ al quale ho tentato di dare una soluzione della quale però non sono pienamente convinto.
Vi riporto il testo:

Stabilire se $S={x \in QQ | 0 \leq x \leq \pi}$ è compatto in $QQ$

Io avrei pensato a questo:
Sia $\mathcal{U} ={ [ \pi /2-\varepsilon, \pi /2 +\varepsilon) | \varepsilon \in [0,\pi/2)}\cup QQ$. Tale famiglia è un ricoprimento aperto di $S$ Che non ammette sottoricoprimenti finiti poiché per ogni $\varepsilon$ esiste $q\inQQ$ tc $q\in(\pi /2 +\varepsilon, \pi)$. Segue, $S$ non è compatto.


Ha un senso o c’è qualche errore nel mio ragionamento?
Grazie mille a tutti

[j18eos]

Non ho capìto che ricoprimento (per aperti) vai a considerare...

[Twister_]

Si scusami.. Ovviamente intendevo l'instersezione degli intervalli con $QQ$, non l'unione. Ed è altrettanto vero che quegli intervalli non sono aperti in $RR$. Mi ha ingannato il fatto che $0$ dovesse essere compreso.

Proviamo così:

$ \mathcal{U} ={ (\pi /2 - 1 - \varepsilon, \pi /2+\varepsilon) | \varepsilon \in (0,\pi/2)}\cap QQ $

Così dovrei aver ovviato ai problemi di prima. Infatti, al variare di $\varepsilon$ ho tutti aperti di $RR$, quindi facendone l'intersezione con $QQ$ rappresentano tutti aperti di $QQ$ dotato della topologia indotta. Quindi ho un ricoprimento aperto di $S$ (questa volta forse per davvero ) che per lo stesso ragionamento di prima non ammette sottoricoprimenti finiti.

Come va sta volta? Grazie mille

[j18eos]

Utilizzando la correzione di @arnett, NON mi trovo col tuo ragionamento @Twister_: chi manca?

[Twister_]

Manca qualcosa.. Suggerimenti sul dove cercarla?

[j18eos]

Ah no!, ho sbagliato a leggere... mi trovo col tuo ragionamento!