Ci sono dei termini di topologia che non so se ho capito bene per come sono stati definiti su Topologia di Manetti, 2ed.
Marco Manetti a pagina 93 ha scritto:Definizione 5.1. Un'applicazione continua e surgettiva \(f : X \to Y\) si dice identificazione se gli aperti di \(Y\) sono tutti e soli i sottoinsiemi \(A \subset Y\) tali che \(f^{-1}(A)\) aperto in \(X\).
Come me lo sono rappresentato è
Una funzione continua e suriettiva \(f : X \to Y\) si dice identificazione quando per ogni insieme \(A \subset Y\)
\[A \text{ aperto di } Y \iff f^{-1}A \text{ aperto di } X\quad.\]
L'implicazione \(\implies\) è però la ripetizione della continuità di \(f\), perciò mi risulta un po' rindondante, e penso di ridurla a
Una funzione continua e suriettiva \(f : X \to Y\) si dice identificazione quando per ogni insieme \(A \subset Y\)
\[f^{-1}A \text{ aperto di } X \implies A \text{ aperto di } Y \quad.\]
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Marco Manetti a pagina 59 ha scritto:Definzione 3.57 Un'applicazione continua e iniettiva \(f : X \to Y\) si dice immersione (topologica) se gli aperti di \(X\) sono tutti e soli i sottoinsiemi del tipo \(f^{-1}(A)\) al variare di \(A\) tra gli aperti di \(Y\).
Io in questo caso me lo rappresento in questo modo
Una funzione continua e iniettiva \(f : X \to Y\) si dice immersione quando per ogni insieme \(U \subset X\)
\[U \text{ aperto di } X \iff \exists A \subset Y \text{ aperto} : U = f^{-1}A \quad.\]
Di nuovo in questo caso l'implicazione \(\Longleftarrow\) mi sembra derivare direttamente dalla continuità: infatti, per continuità, se \(A \subset Y\) è uno degli aperti per cui \(f^{-1}A = U\), allora quest'ultimo è aperto. Quindi mi verrebbe da dire che la definizione precedente si riduce a
Una funzione continua e iniettiva \(f : X \to Y\) si dice immersione quando per ogni insieme \(U \subset X\) si ha
\[U \text{ aperto di } X \implies \exists A \subset Y \text{ aperto} : U = f^{-1}A \quad.\]
Vanno bene le idee che mi sono fatto?
È che mi serve aver chiaro bene questi termini: vorrei prendere come abitudine di provare a dimostrare i teoremi prima da me, prima di consultare la dimostrazione proposta dagli autori. E se non ho chiari i significati delle parole non riuscirei nemmeno a capire ciò che dice l'enunciato...
È da tre/quattro giorni che non non funziona niente.