Discussione e risoluzione di sistemi lineari parametrici con matrici rettangolari

[clara524]

Salve a tutti!
Sto riscontrando dei grandi problemi sulla risoluzione di un sistema lineare parametrico da me inventato che è il seguente:
$\{(X-(\lambda+1)Y+2Z=3),(-X+Y+(2\lambda-1)Z=3\lambda),(2X+Y+\lambdaZ=2),(-X+4Y-2Z=\lambda-1),(3X+4Y-2\lambdaZ=1-\lambda):}$
Mi è stato suggerito da un utente del forum il metodo di Gauss ma vorrei cercare di risolverlo senza questo metodo poiché, sebbene conosca il teorema dei minori orlati e il teorema di Rouchè-Capelli, a volte non so come muovermi davanti a un sistema. Come mi è stato suggerito dagli utenti di questo forum, abbiamo cominciato a lavorare sulla matrice dei coefficienti
$A=((1,-\lambda-1,2),(-1,1,2\lambda-1),(2,1,\lambda),(-1,4,-2),(3,4,-2\lambda))$
e ne abbiamo calcolato il rango. Si vede subito che il rango di questa matrice è almeno 2 per ogni $\lambda$ $in$ $RR$ perché considerando un minore di ordine due, costruito considerando la seconda e la terza riga e poi la prima seconda colonna,questo è diverso da zero. Ho successivamente orlato questo minore con gli unici tre minori $3xx3$ che si possono formare con le restanti righe/colonne della matrice incompleta.
I minori di ordine 3 che ho ottenuto sono i seguenti:
$M_{123,123}=|(1,-\lambda-1,2),(-1,1,2\lambda-1),(2,1,\lambda)|$

$M_{234,123}=|(-1,1,2\lambda-1),(2,1,\lambda),(-1,4,-2)|$

$M_{235,123}=|(-1,1,2\lambda-1),(2,1,\lambda),(3,4,-2\lambda)|$

Dal primo minore, l'espressione in funzione di $\lambda$ che ho ottenuto, non è definita nell'insieme dei numeri reali.
I due minori successivi si annullano per $\λ=3/21$ e per $\λ=5/23$ e per questi valori ho il rango uguale a 2. Per $\λ$ diverso da quei due valori, il rango della matrice è uguale a 3.
Per poter stabilire se questo sistema ammette soluzioni e per sapere quante ne ammette, devo applicare Rouchè-Capelli e per farlo devo confrontare il rango della matrice incompleta con quello della matrice completa. Come faccio a fare questo confronto? Per calcolare il rango della matrice completa, devo orlare il minore di ordine 2, scelto inizialmente, con il vettore colonna dei termini noti e poi con una delle tre righe non comprese nel minore di ordine 2? questi nuovi minori sono funzione di λ e si annulleranno per qualche valore del parametro, giusto? Dopo aver fatto questo, come si prosegue?
Vi ringrazio anticipatamente e confido in una vostra risposta!

[GN00Fu]

Per fare il confronto fra il rango della matrice dei coefficienti e quello della matrice orlata hai bisogno di calcolarli. Quindi, ora che hai completato il calcolo per la matrice dei coefficienti, ti rimane soltanto da ripetere il tutto aggiungendo la colonna dei termini noti. Se il rango delle due matrici è lo stesso, allora il sistema è compatibile, altrimenti inutile perderci altro tempo. Inoltre, se il rango è pari al numero delle incognite n allora il sistema ha una sola soluzione, se è inferiore allora esso ha infinite soluzioni (se rango - n = p, allora ci sono p incognite da far lavorare come parametri).

A tal proposito, è bene calcolare direttamente il rango della matrice completa riducendola con l'algoritmo di Gauss. Se escludi la colonna dei termini noti, avrai la matrice dei coefficienti ridotta a scalini così prendi 2 piccioni con una fava.
Inoltre, se la matrice dei coefficienti è quadrata ed ha rango pieno, o analogamente determinante diverso da 0, sai già a priori che aggiungere la colonna dei termini noti non varierà il rango. D'altra parte, la regola di Cramer rende chiaro che questo tipo di sistema è compatibile (ed ha una ed una sola soluzione).

[clara524]

Salve! Ahimè, mi sono accorta soltanto oggi di questa risposta.
Nei giorni scorsi ho provato ad andare avanti nella discussione di questo sistema, senza successo, prendendo come punto di riferimento un esercizio di un sistema lineare parametrico svolto dal professore dove anche in questo caso sia la matrice dei coefficienti sia quella completa sono rettangolari, precisamente la matrice dei coefficienti è composta da tre righe e quattro colonne e la matrice completa da tre righe e cinque colone. Il professore ha proceduto calcolando un minore di ordine 2 e venendo diverso da zero, ha concluso che il rango sia della matrice dei coefficienti sia di quella completa fosse compreso tra 2 e 3.
Dopodiché ha calcolato 3 i minori di ordine 3. Ha specificato che due minori appartenevano sia alla matrice dei coefficienti sia a quella completa, mentre l'altro minore, contenente anche la colonna dei termini noti, apparteneva soltanto alla matrice completa ma non a quella dei coefficienti.
Ha quindi proceduto con il calcolo del determinante di uno dei due minori appartenenti alla matrice dei coefficienti e alla matrice completa e questo minore si annullava per un qualche valore del parametro. Di conseguenza, per quei valori in cui il minore di ordine 3 si annullava, il rango della matrice dei coefficienti era uguale al rango della matrice cioè 3 e quindi il sistema era compatibile e ha calcolato le soluzioni con Cramer. Successivamente ha studiato i casi particolari, sostituendo quei valori del parametro, con cui il minore si annullava, nel sistema e ha calcolato le relative soluzioni, sempre con Cramer.
Ora, sulla base di questo esercizio, ho pensato di dover fare le medesime considerazioni trovandomi anche io con due matrici rettangolari. Tuttavia nel caso del professore, il rango di tutte e due le matrice era compreso tra 1 e 3. Mentre nel mio caso, il rango della matrice dei coefficienti è compreso tra 1 e 3 mentre quello della matrice completa è compreso tra 1 e 4 e questa cosa mi manda in confusione.
Per favore, potete darmi una mano? Mi scuso per questo lungo discorso, purtroppo anche a distanza di giorni non ne sono venuta a capo ed è sconfortante non riuscire a capire cose magari banali. Spero nel vostro aiuto!

[gugo82]

Salve a tutti!
Sto riscontrando dei grandi problemi sulla risoluzione di un sistema lineare parametrico da me inventato che è il seguente:
$\{(X-(\lambda+1)Y+2Z=3),(-X+Y+(2\lambda-1)Z=3\lambda),(2X+Y+\lambdaZ=2),(-X+4Y-2Z=\lambda-1),(3X+4Y-2\lambdaZ=1-\lambda):}$

L'hai inventato brutto...

Ti serva di lezione: quando inventi un esercizio, non farlo troppo brutto, altrimenti le difficoltà di calcolo (questione irrilevante) mascherano quelle concettuali (rilevantissime da sciogliere).

Mi è stato suggerito da un utente del forum il metodo di Gauss ma vorrei cercare di risolverlo senza questo metodo poiché, sebbene conosca il teorema dei minori orlati e il teorema di Rouchè-Capelli, a volte non so come muovermi davanti a un sistema. Come mi è stato suggerito dagli utenti di questo forum, abbiamo cominciato a lavorare sulla matrice dei coefficienti
$A=((1,-\lambda-1,2),(-1,1,2\lambda-1),(2,1,\lambda),(-1,4,-2),(3,4,-2\lambda))$
e ne abbiamo calcolato il rango. Si vede subito che il rango di questa matrice è almeno 2 per ogni $\lambda$ $in$ $RR$ perché considerando un minore di ordine due, costruito considerando la seconda e la terza riga e poi la prima seconda colonna,questo è diverso da zero. Ho successivamente orlato questo minore con gli unici tre minori $3xx3$ che si possono formare con le restanti righe/colonne della matrice incompleta.
I minori di ordine 3 che ho ottenuto sono i seguenti:
$M_{123,123}=|(1,-\lambda-1,2),(-1,1,2\lambda-1),(2,1,\lambda)|$

[...]

Dal primo minore, l'espressione in funzione di $\lambda$ che ho ottenuto, non è definita nell'insieme dei numeri reali.

E che significa?
Come fa un polinomio a non essere definito in $RR$???¹

Il primo minore è:

$M_{123,123} = |(1,-\lambda-1,2), (-1,1,2\lambda-1), (2,1,\lambda)| = -5lambda^2 - 4lambda - 3$

ed ha $Delta/4 = 4 - 15 = - 11 < 0$, quindi $M_{123,123} != 0$ per ogni $lambda in RR$.
Tanto ti basta: il rango della matrice dei coefficienti è sempre $3$, il resto dei conti sono inutili.

Ora, per calcolare il rango della matrice completa basta orlare $M_{123,123}$ con la colonna dei termini noti ed una delle rimanenti righe di $A$.

Ad ogni buon conto, però, il fatto che $"rank"(A) = 3 = "numero di incognite"$ ti dice che possono verificarsi solo due delle tre alternative canoniche (determinato, indeterminato, impossibile) per il tuo sistema: quali? Perchè?

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Note

1. Questo denota una difficoltà nella Matematica elementare non da poco... Questa è roba da primo/secondo anno delle superiori, l'università c'entra poco, anzi nulla. ↑