Derivata di Lie e gradi relativi

[GG1]

Salve a tutti,
Avrei bisogno di qualche informazione riguardo la derivata di Lie in particolar modo relativamente al problema del controllo. Ho inserito i miei 3 dubbi in grasseto. Sarebbe davvero fantastico se riusciste a rispondermi anche solo ad alcuni di questi!

Ho aggiunto piu informazioni possibili in modo da facilitarvi a seguire il flusso dello sviluppo del problema.
Qua ho preso la maggior parte delle info: https://it.wikipedia.org/wiki/Controllo ... earization) anche se il focus del mio problema non e’ la linearizzazione ma la determinazione dei gradi relativi.

Partendo dalla seguente rappresentazione generale di sistemi non lineari:

$ dot(x)=f(x)+g(x)u $
$ y=h(x) $

f and g sono campi vettoriali in $ R^n $
h e' un campo scalare in $ R^n $
$ x∈R^n $ e' il vettore di stato
u and y $∈R$ sono gli inputs e outputs del sistema

Inizio qua con i primi dubbi:

Io sono abituato a vedere un problema State Space nella forma seguente:

$ dot(x)=Ax+Bu $
$ y=Cx $

1) Che legame vi e’ tra questa e la prima rappresentazione?

Continuando a sviluppare il problema in modo da fare apparire la derivata di Lie ottengo:

$ dot(y)=(dh(x))/dxdx/dt=(dh(x))/dxdot(x)=(dh(x))/dx(f(x)+g(x)u)=(dh(x))/dxf(x)+(dh(x))/dxg(x)u=L_f h(x)+L_g h(x)u $
Dove:
L_f h(x)=Lie derivative lungo f(x)
L_g h(x)=Lie derivative lungo g(x)

2) Da un punto di vista pratico, cosa mi dicono queste due derivate di Lie?

Ora posso introdurre il concetto di grado relativo:

Dato il seguente Sistema:
$ dot(x)=f(x)+g(x)u $
$ y=h(x) $

Ha grado relativo r, $ 1≤r≤n in D se ∀ x ∈ D ∃ $

$ L_g L_f^(i-1) h(x)=0,i=1,2,…,r-1; L_g L_f^(r-1) h(x)≠0 $

Il concetto di grado relativo e’ utile in quanto cattura l’effetto dinamico di un input su un output.

Nel caso si hanno piu di un input e’ importante calcolare l’effetto dinamico di ogni manipulated input su ogni outputs (sistemi MIMO):

Il grado relativo $ r_(ij) $ di un output $ y_(i) $ su un input $ u_j $ e’ definite come il piu piccolo intero t.c.:

$ L_gi L_f^(r_(i,j)-1) h(x)≠0 $

If $ r_(ij) $ =∞ if such an integer does not exist.


E questo mi torna. Non mi torna quanto segue:

Dato il seguente Sistema lineare discreto e tempo-invariante:

$ x ̇=Ax+∑_(j=1)^mb_j u_j $
$ y_i=c_i x,i=1,2,…,m $

Possiamo definire il grado relativo come il piu piccolo intero t.c.:

$ c_i A^(r_(i,j)-1) b_j≠0. $

3) In relazione a quanto detto sopra, come faccio a ricavare questa formula?

Grazie mille!

Gabri