Derivata covariante e sua notazione

[cianfa72]

Ciao,

vi chiedo aiuto per un dubbio sulla derivata covariante inclusa la sua notazione nel contesto della geometria differenziale applicata alle varietà (differential manifold).

In questo video XylyXylyX (54:00) viene presentata un'introduzione alla derivata covariante facendo riferimento al limite per $\deltap^\alpha \rightarrow 0$ della frazione li riportata.

Il primo dubbio e' sul fatto che la frazione stessa per $\deltap^\alpha \rightarrow 0$ sia effettivamente una quantita' tensoriale. Ho provato a rispondere in questo forum con questo ultimo post.

Altro dubbio e' sulla notazione operatore 'derivata covariante' $\nabla_\alpha$. Da quanto posso capire esso 'opera' appunto sul campo vettoriale $X^mu$ ritornando il tensore $\nabla_\alpha X^mu$ di tipo (1,1). Di fatto il campo vettoriale $X^mu$ -- lasciatemi dire --- viene 'fagocitato' dall'operatore 'derivata covariante' e quindi gli indici $\alpha$ e $\mu$ si applicano in realta' all'intero oggetto $\nablaX$

Quindi $\nabla_\alpha X^\mu$ non e' interpretabile come il 'prodotto tensoriale' tra $\nabla_\alpha$ e $X^mu$ (anche dal punto di vista della abstract index notation), giusto ?

grazie a chi vorra' rispondermi

[cianfa72]

Help

[dissonance]

Quindi... non è interpretabile come prodotto tensoriale...

No, certo che no, specialmente perché \(\nabla_\alpha\) NON è un tensore. In fondo questa domanda è stata fatta spesso su questo forum. In fisica, ad esempio, si usa molto scrivere \(\nabla\times v\) per denotare il rotore, il che suggerisce che \(\nabla\) sia un vettore, ma non lo è:

https://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/7869

[cianfa72]

No, certo che no, specialmente perché \(\nabla_\alpha\) NON è un tensore.

ok quindi \( \nabla_\alpha X^\mu \) di fatto e' sinonimo di \( (\nabla X)^\mu {}_{\alpha} \). Se capisco bene usando le lettere dell'alfabeto greco per gli indici si fa riferimento formalmente alle componenti del tensore in una data base (anche se non necessariamente esplicitata).

Nel caso invece di uso di lettere latine per gli indici ci si riferisce alla abstract index notation in cui gli oggetti sono veri e propri tensori (vettori, co-vettori etc..)

Quel che penso vada evitato e' utilizzare un mix delle due per evitare clamorosa confusione...Come la vedete ?

[dissonance]

Questa è la convenzione di Penrose, ma non è che la usino tutti, e comunque non penso sia una cosa molto importante.

[cianfa72]

Questa è la convenzione di Penrose

Ti riferisci ad abstract index notation, immagino.

Vi torna invece la notazione \( \nabla_\alpha X^\mu \equiv (\nabla X)^\mu {}_{\alpha} \) per quanto riguarda le componenti del tensore così ottenuto (dove per gli indici si usano lettere dell'alfabeto greco) ?

Ho un po' di confusione in merito, ad esempio:

\( \nabla_V X \) dove \( X \) è un campo vettoriale e \( V\) un vettore dovrebbe essere un vettore
\( \nabla_a X^b \) dove \( X \) è un campo vettoriale dovrebbe essere un tensore (1,1) in abstract index notation

grazie

[dissonance]

SI, è giusto

[cianfa72]

Comunque in rete sui vari forum si trovano notazioni secondo me confusionarie.

Ad esempio qui link-1 e link-2 si fa riferimento alla notazione 'abbreviata' \( (\nabla_i V )^k \) per la k-esima componente del vettore \( (\nabla_i V) \) ottenuto applicando al campo vettoriale \( V \) l'operatore 'derivata covariante nella direzione dell i-esimo vettore della base coordinata' ovvero nella direzione del vettore \( \frac{\partial}{\partial x_i} \)

In questo caso quindi \( i \) non rappresenta un indice di componente ne e' interpretabile nell'ambito della notazione degli indici astratti